Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 3 - Chương 1 - Đại số 9

 

Đề bài

Bài 1. Tìm điều kiện để mỗi biểu thức sau có nghĩa :

a. $A=\sqrt{2-4x}$

b. $B=\sqrt{\frac{-3}{x-1}}+\sqrt{x^2+4}$

Bài 2. Chứng minh rằng : $2+\sqrt{3}<3+\sqrt{2}$

Bài 3. 

a. Rút gọn :  $P=\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}:\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$$\left(x>0;y>0;x\ne y\right)$

b. Tính P, biết $x=\sqrt{2}-1vày=\sqrt{9-4\sqrt{2}}$

Bài 4. Tìm x, biết :  

a. $\sqrt{x^2+3}=x+1$

b. $\sqrt{x^2+1}\le x+2$

Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $P=5-\sqrt{x^2-6x+14}$

LG bài 1

Phương pháp giải:

Sử dụng: $\sqrt{A}$ có nghĩa khi $A\ge 0$

Lời giải chi tiết:

a. A có nghĩa $\iff 2-4x\ge 0\iff 2\ge 4x\iff x\le \frac{1}{2}$

b. B có nghĩa $\iff \{\begin{array}{c}\frac{-3}{x-1}\ge 0\\ x^2+4\ge 0\end{array}$$\iff x-1<0\iff x<1$ 

(vì $x^2+4\ge 0$ luôn đúng với mọi x)

LG bài 2

Phương pháp giải:

Sử dụng: $0<a<b\iff a^2<b^2$

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

$\begin{array}{cc}& 2+\sqrt{3}<3+\sqrt{2}\iff \sqrt{3}<1+\sqrt{2}\\ & \iff 3<1+2\sqrt{2}+2\\ & \iff 2\sqrt{2}>0\left(\text{luôn đúng}\right)\end{array}$

LG bài 3

Phương pháp giải:

Quy đồng và rút gọn P.

Lời giải chi tiết:

a. Ta có:

$P=\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}:\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$

$\begin{array}{cc}& =\frac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}:\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\\ & =\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\\ & =x-y\end{array}$

b. Ta có: $y=\sqrt{9-4\sqrt{2}}=\sqrt{8-2.2\sqrt{2}.1+1}$$=\sqrt{{\left(2\sqrt{2}-1\right)}^2}$$=2\sqrt{2}-1$ 

Vậy : $P=\left(\sqrt{2}-1\right)-\left(2\sqrt{2}-1\right)=-\sqrt{2}$

LG bài 4

Phương pháp giải:

Sử dụng: 

$\begin{array}{c}\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\\ \iff \{\begin{array}{c}g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)={\left(g\left(x\right)\right)}^2\end{array}\\ \sqrt{f\left(x\right)}\le g\left(x\right)\\ \iff \{\begin{array}{c}f\left(x\right)\ge 0\\ g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)\le {\left(g\left(x\right)\right)}^2\end{array}\end{array}$

Lời giải chi tiết:

a. Ta có:

$\begin{array}{cc}& \sqrt{x^2+3}=x+1\\ & \iff \{\begin{array}{c}x+1\ge 0\\ x^2+3=x^2+2x+1\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}x\ge -1\\ x=1\end{array}\iff x=1\end{array}$

b. Ta có: 

$\begin{array}{cc}& \sqrt{x^2+1}\le x+2\\ & \iff \{\begin{array}{c}{x}^2+1\ge 0\\ x+2\ge 0\\ x^2+1\le x^2+4x+4\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{c}x\ge -2\\ x\ge -\frac{3}{4}\end{array}\iff x\ge -\frac{3}{4}\end{array}$

LG bài 5

Phương pháp giải:

Sử dụng $m-\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+b}\le m-\sqrt{b}$ với $a,b\ge 0$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\sqrt{x^2-6x+14}$$=\sqrt{x^2-6x+9+5}$$=\sqrt{{\left(x-3\right)}^2+5}\ge \sqrt{5}$ (vì ${\left(x-3\right)}^2\ge 0$ với mọi x)

$\Rightarrow -\sqrt{x^2-6x+14}\le -\sqrt{5}$

$\Rightarrow 5-\sqrt{x^2-6x+14}\le 5-\sqrt{5}$

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng $5-\sqrt{5};$ đạt được khi $x-3=0\iff x=3$