TRƯỜNG THPT TX QUẢNG TRỊ ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT TỔ TOÁN Môn: Hình học 11 (Nâng cao) – Khối sáng Thời gian làm bài: 45 phút. ĐỀ 1 Cho hình chóp tam giác S ABC . có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B, với AB a  . Cạnh bên SA a  2 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. 1) Chứng minh tất cả các mặt bên của hình chóp S ABC . đều là các tam giác vuông. 2) Dựng đường cao AH của tam giác SAB H SB , .  Chứng minh AH vuông góc với mặt phẳng SBC . 3) Gọi I J, lần lượt là các trọng tâm của các tam giác SAB SAC , . Chứng minh IJ vuông góc với AH. 4) Gọi  là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC . Tính tan .  5) Gọi RT, là các điểm nằm trên cạnh SC thoả mãn ST TC  3 và đường thẳng AT vuông góc với đường thẳng BR. Tính độ dài đoạn SR. ---------Hết--------- TRƯỜNG THPT TX QUẢNG TRỊ ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT TỔ TOÁN Môn: Hình học 11 (Nâng cao) – Khối sáng Thời gian làm bài: 45 phút. ĐỀ 2 Cho hình chóp tam giác S MNP . có đáy MNP là tam giác vuông cân tại đỉnh N, với MN a  . Cạnh bên SM a  2 và SM vuông góc với mặt phẳng đáy. 1) Chứng minh tất cả các mặt bên của hình chóp S MNP . đều là các tam giác vuông. 2) Dựng đường cao MK của tam giác SMN K SN , .  Chứng minh MK vuông góc với mặt phẳng SNP. 3) Gọi E F, lần lượt là các trọng tâm của các tam giác SMN SMP , . Chứng minh EF vuông góc với MK. 4) Gọi  là góc giữa đường thẳng SN và mặt phẳng SMP. Tính cot .  5) Gọi I J, là các điểm nằm trên cạnh SP thoả mãn SJ JP  3 và đường thẳng MJ vuông góc với đường thẳng NI. Tính độ dài đoạn IJ. ---------Hết--------- TRƯỜNG THPT TX QUẢNG TRỊ ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT TỔ TOÁN Môn: Hình học 11 (Nâng cao) – Khối chiều Thời gian làm bài: 45 phút. ĐỀ 1 Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Cạnh bên SA a  2 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi I H K , , lần lượt là trung điểm của SA BC CD , , . 1) Chứng minh tất cả các mặt bên của hình chóp S ABCD . đều là các tam giác vuông. 2) Chứng minh đường thẳng HK vuông góc với mặt phẳng SAC . 3) Chứng minh đường thẳng DH vuông góc với đường thẳng SK. 4) Gọi  là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB. Tính sin .  5) Gọi P là mặt phẳng chứa đường thẳng CI và cắt các cạnh SB SD, lần lượt tại M và N. Khi góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng P đạt giá trị lớn nhất, hãy tính diện tích của tứ giác CMIN. ---------Hết--------- TRƯỜNG THPT TX QUẢNG TRỊ ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT TỔ TOÁN Môn: Hình học 11 (Nâng cao) – Khối sáng Thời gian làm bài: 45 phút. ĐỀ 2 Cho hình chóp S MNPQ . có đáy MNPQ là hình vuông tâm O cạnh a. Cạnh bên SM a  2 và SM vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi E F G , , lần lượt là trung điểm của các cạnh SM NP PQ ,,. 1) Chứng minh tất cả các mặt bên của hình chóp S MNPQ . đều là các tam giác vuông. 2) Chứng minh FG vuông góc với mặt phẳng SMP. 3) Chứng minh đường thẳng QF vuông góc với đường thẳng SG. 4) Gọi  là góc giữa đường thẳng SP và mặt phẳng SMN. Tính cos .  5) Gọi R là mặt phẳng chứa đường thẳng PE và cắt các cạnh SN SQ, lần lượt tại K và H. Khi góc giữa đường thẳng MP và mặt phẳng R đạt giá trị lớn nhất, hãy tính diện tích của tứ giác PHEK. ---------Hết--------- ĐÁP ÁN ĐỀ 1 KHỐI SÁNG 1 (3 điểm) SA ABC SA AB SA AC       ,    SAB SAC , vuông tại A.   BC AB BC SAB BC SB SBC BC SA              vuông tại B. 2 đ 1 đ 2 (2 điểm)  . AH SB AH SBC AH BC          1 đ 1 đ 3 (2 điểm) Gọi E là trung điểm của SA. Ta có   2 / / 3 EI EJ IJ BC IJ SAB EB EC      Mà AH SAB IJ AH      . 1 đ 1 đ 4 (2 điểm) Gọi M là trung điểm của AC.   BM AC BM SAC M BM SA           là hình chiếu của B lên SAC  Suy ra SM là hình chiếu của SB lên SAC . Do đó SB SAC SB SM BSM ; ; ,        với BSM vuông tại M. Tính được 2 2 10 1 2 , 2 2 2 a a SM SA AM BM AC      1 tan . 5 BM SM     1 đ 1 đ 5 (1 điểm) Ta có   3 3 1 3 4 4 4 4 AT AS ST AS SC AS SA AC AS AC                    Đặt SR kSC  .   BR BA AS SR AB AS kSC AB k AS kAC             1 .            Từ GT   AT BR. 0       2 2 2 2 1 3 3 1 . 0 4 4 4 1 3 1 3 1 1 2 . . 2. .2 0 . 4 4 4 4 2 k k AS AB AC AC k k a a a a k               Do đó 1 1 . 4 2 SR SC RT SC a     0,5 đ 0,5 đ ĐÁP ÁN ĐỀ 2 KHỐI SÁNG 1 (3 điểm) SM MNP SM MN SM MP       ,    SMN SMP , vuông tại M.   PN MN PN SMN PN SN SNP PN SM              vuông tại N. 2 đ 1 đ 2 (2 điểm)  . MK SN MK SNP MK NP          1 đ 1 đ 3 (2 điểm) Gọi Q là trung điểm của SM. Ta có   2 / / 3 QE QF EF NP EF SMN QN QP      Mà MK SMN EF MK      . 1 đ 1 đ 4 (2 điểm) Gọi O là trung điểm của MP.   NO MP NO SMP O NO SM           là hình chiếu của N lên SMP Suy ra SO là hình chiếu của SN lên SMP. Do đó SN SMP SN SO NSO ; ; ,        với NSO vuông tại O. Tính được 2 2 10 1 2 , 2 2 2 a a SO SM MO NO MP      cot 5. SO NO     1 đ 1 đ 5 (1 điểm) Ta có   3 3 1 3 4 4 4 4 MJ MS SJ MS SP MS SM MP MS MP                    Đặt SI kSP  .   NI NM MS SI MN MS kSP MN k MS kMP             1 .            Từ GT   MJ NI . 0       2 2 2 2 1 3 3 1 . 0 4 4 4 1 3 1 3 1 1 2 . . 2. .2 0 . 4 4 4 4 2 k k MS MN MP MP k k a a a a k               Do đó 1 1 . 4 2 SI SP IJ SP a     0,5 đ 0,5 đ ĐÁP ÁN ĐỀ 1 KHỐI CHIỀU 1 (3 điểm) SA ABCD SA AB SA AD       ,    SAB SAD , vuông tại A.   BC AB BC SAB BC SB SBC BC SA              vuông tại B.   DC AD DC SAD DC SD SDC DC SA              vuông tại D. 1 đ 1 đ 1 đ 2 (2 điểm)     / / . HK BD HK SAC BD SAC         1 đ 1 đ 3 (2 điểm) Gọi E DH AK DEK     vuông tại E. Suy ra DH AK  . Mà DH SA DH SAK DH SK        . 1 đ 1 đ 4 (2 điểm) Ta có B là hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng SAB nên SB là hình chiếu vuông góc của SC C lên mặt phẳng SAB. Suy ra SC SAB SC SB BSC ; ; ,        với tam giác BSC vuông tại B. Ta có 2 2 BC a SC SA AC a     , 2 . Suy ra 1 sin . 2 BC SC    1 đ 1 đ 5 (1 điểm) Gọi P I, theo thứ tự là hình chiếu của A lên mặt phẳng P và đường thẳng AI. Ta có AC P ACP ; .     Có sin .  AP AJ ACP const AC AC    Suy ra AC P;  lớn nhất khi P J P AJ      . Mà BD SAC BD AJ BD P BD MN        / / / / .   Gọi G là trọng tâm của SAC và cũng là trọng tâm của   SBD MN đi qua G. Khi đó 2 2 2 10 2 2 ; . 3 3 2 a a MN BD CI CA AI      Vậy 2 1 1 2 2 10 5 . . . . 2 2 3 2 3 CMIN a a a S CI MN    0,5 đ 0,5 đ ĐÁP ÁN ĐỀ 2 KHỐI CHIỀU 1 (3 điểm) SM MNPQ SM MN SM MQ       ,    SMN SMQ , vuông tại M.   PN MN PN SMN PN SN SNP PN SM              vuông tại N.   PQ MQ PQ SMQ PQ SQ SPQ PQ SM              vuông tại Q. 1 đ 1 đ 1 đ 2 (2 điểm)     / / . FG NQ FG SMQ NQ SMP         1 đ 1 đ 3 (2 điểm) Gọi R MG FQ QRG     vuông tại R. Suy ra MG FQ  . Mà FQ SM DFQ SMG FQ SG       . 1 đ 1 đ 4 (2 điểm) Ta có N là hình chiếu vuông góc của P lên mặt phẳng SMN  nên SN là hình chiếu vuông góc của SP lên mặt phẳng SNP. Suy ra SP SMN SP SN NSP ; ; ,        với tam giác NSP vuông tại N. Ta có 2 2 NP a SP SM MC a     , 2 . Suy ra 1 3 sin . 2 2 PN cos SP       1 đ 1 đ 5 (1 điểm) Gọi UV, theo thứ tự là hình chiếu của M lên mặt phẳng R và đường thẳng PE. Ta có MP; . R MPU    Có sin .  MU MV MPU const MP MP  Suy ra MP R;  lớn nhất khi U V R AU      . Mà NQ SMP NQ AU NQ R NQ HK        / / / / .   Gọi T là trọng tâm của SMP và cũng là trọng tâm của   SNQ HK đi qua T. Khi đó 2 2 2 10 2 2 ;PE . 3 3 2 a a HK NQ PM ME      Vậy 2 1 1 2 2 10 5 . . . . 2 2 3 2 3 PHEK a a a S PE HK    0,5 đ 0,5 đ