TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 9 PHẦN I – ĐẠI SỐ A. Kiến thức cần nhớ. 1. §iÒu kiÖn ®Ó c¨n thøc cã nghÜa. A cã nghÜa khi A 0 2. C¸c c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc. a. 2 A A b. AB A B A B . ( 0; 0) c. ( 0; 0) A A A B B B d. 2 A B A B B ( 0) e. 2 A B A B A B ( 0; 0) 2 A B A B A B ( 0; 0) f. 1 ( 0; 0) A AB AB B B B i. ( 0) A A B B B B k. 2 2 ( ) ( 0; ) C C A B A A B A B A B m. 2 ( ) ( 0; 0; ) C C A B A B A B A B A B 3. Hµm sè y = ax + b (a 0) - TÝnh chÊt: + Hµm sè ®ång biÕn trªn R khi a > 0. + Hµm sè nghÞch biÕn trªn R khi a < 0. - §å thÞ: §å thÞ lµ mét ®-êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(0;b); B(-b/a;0). 4. Hµm sè y = ax2 (a 0) - TÝnh chÊt: + NÕu a > 0 hµm sè nghÞch biÕn khi x < 0 vµ ®ång biÕn khi x > 0. + NÕu a < 0 hµm sè ®ång biÕn khi x < 0 vµ nghÞch biÕn khi x > 0. - §å thÞ: §å thÞ lµ mét ®-êng cong Parabol ®i qua gèc to¹ ®é O(0;0). + NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh. + NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa d-íi trôc hoµnh. 5. VÞ trÝ tư¬ng ®èi cña hai ®ưêng th¼ng XÐt ®-êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = a'x + b' (d') (d) vµ (d') c¾t nhau a a' (d) // (d') a = a' vµ b b' (d) (d') a = a' vµ b = b' 6. VÞ trÝ tư¬ng ®èi cña ®ưêng th¼ng vµ ®ưêng cong. XÐt ®-êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = ax2 (P) (d) vµ (P) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm 2 (d) tiÕp xóc víi (P) t¹i mét ®iÓm (d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung 7. Phư¬ng tr×nh bËc hai. XÐt ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) C«ng thøc nghiÖm C«ng thøc nghiÖm thu gän = b2 - 4ac NÕu > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x 2 1 ; a b x 2 2 NÕu = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : a b xx 2 21 NÕu < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm ' = b'2 - ac víi b = 2b' - NÕu ' > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x '' 1 ; a b x '' 2 - NÕu ' = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: a b xx ' 21 - NÕu ' < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm 8. HÖ thøc Viet vµ øng dông. - HÖ thøc Viet: NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) th×: 1 2 1 2 . b S x x a c P x x a - Mét sè øng dông: + T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = S; u.v = P ta gi¶i ph-¬ng tr×nh: x 2 - Sx + P = 0 (§iÒu kiÖn S 2 - 4P 0) + NhÈm nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) NÕu a + b + c = 0 th× ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = 1 ; x2 = c a NÕu a - b + c = 0 th× ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = -1 ; x2 = c a 9. Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp phư¬ng tr×nh, hÖ phư¬ng tr×nh B-íc 1: LËp ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh B-íc 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh B-íc 3: KiÓm tra c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh nghiÖm nµo thÝch hîp víi bµi to¸n vµ kÕt luËn B. Các dạng bài tập D¹ng 1: Rút gọn biểu thức Bµi to¸n: Rót gän biÓu thøc A §Ó rót gän biÓu thøc A ta thùc hiÖn c¸c b-íc sau: - Quy ®ång mÉu thøc (nÕu cã) 3 - §ưa bít thõa sè ra ngoµi c¨n thøc (nÕu cã) - Trôc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã) - Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh: luü thõa, khai c¨n, nh©n chia.... - Céng trõ c¸c sè h¹ng ®ång d¹ng. D¹ng 2: Bài toán tính toán Bµi to¸n 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A. TÝnh A mµ kh«ng cã ®iÒu kiÖn kÌm theo ®ång nghÜa víi bµi to¸n Rót gän biÓu thøc A Bµi to¸n 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A(x) biÕt x = a C¸ch gi¶i: - Rót gän biÓu thøc A(x). - Thay x = a vµo biÓu thøc rót gän. D¹ng 3: Chứng minh đẳng thức Bµi to¸n : Chøng minh ®¼ng thøc A = B Mét sè phư¬ng ph¸p chøng minh: - Phư ¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa. A = B A - B = 0 - Phư ¬ng ph¸p 2: BiÕn ®æi trùc tiÕp. A = A1 = A2 = ... = B - Phư ¬ng ph¸p 3: Phư ¬ng ph¸p so s¸nh. A = A1 = A2 = ... = C B = B1 = B2 = ... = C - Phư ¬ng ph¸p 4: Phư¬ng ph¸p tư¬ng ®ư¬ng. A = B A' = B' A" = B" ...... (*) (*) ®óng do ®ã A = B - Phư ¬ng ph¸p 5: Phư ¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt. - Phư ¬ng ph¸p 6: Phư ¬ng ph¸p quy n¹p. - Phư ¬ng ph¸p 7: Phư ¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô. D¹ng 4: Chứng minh bất đẳng thức Bµi to¸n: Chøng minh bÊt ®¼ng thøc A > B Mét sè bÊt ®¼ng thøc quan träng: - BÊt ®¼ng thøc Cosi: n n n aaaa n aaaa ..... ... 321 321 (víi 0..... 321 aaaa n ) DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: aaaa n ... 321 - BÊt ®¼ng thøc BunhiaC«pxki: Víi mäi sè a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn ... ( ... )( )... 2 2 3 2 2 2 1 2 2 3 2 2 2 1 2 332211 nn n bbbbaaaababababa n DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi: n n b a b a b a b a ... 3 3 2 2 1 1 Mét sè ph-¬ng ph¸p chøng minh: - Phư ¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa A > B A - B > 0 - Phư ¬ng ph¸p 2: BiÕn ®æi trùc tiÕp A = A1 = A2 = ... = B + M2 > B nÕu M 0 A = B 4 - Phư ¬ng ph¸p 3: Phư ¬ng ph¸p tư¬ng ®ư¬ng A > B A' > B' A" > B" ...... (*) (*) ®óng do ®ã A > B - Phư ¬ng ph¸p 4: Phư ¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt b¾c cÇu A > C vµ C > B A > B - Phư ¬ng ph¸p 5: Phư ¬ng ph¸p ph¶n chøng §Ó chøng minh A > B ta gi¶ sö B > A vµ dïng c¸c phÐp biÕn ®æi tư¬ng ®ư¬ng ®Ó dÉn ®Õn ®iÒu v« lÝ khi ®ã ta kÕt luËn A > B. - Phư ¬ng ph¸p 6: Phư ¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt. - Phư ¬ng ph¸p 7: Phư ¬ng ph¸p quy n¹p. - Phư ¬ng ph¸p 8: Phư ¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô. D¹ng 5: Bài toán liên quan đến phương trình bậc hai Bµi to¸n 1: Gi¶i phư¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) C¸c phư¬ng ph¸p gi¶i: - Phư ¬ng ph¸p 1: Ph©n tÝch ®ưa vÒ phư¬ng tr×nh tÝch. - Phư ¬ng ph¸p 2: Dïng kiÕn thøc vÒ c¨n bËc hai x 2 = a x = a - Phư ¬ng ph¸p 3: Dïng c«ng thøc nghiÖm Ta cã = b2 - 4ac + NÕu > 0 : Phư¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x 2 1 ; a b x 2 2 + NÕu = 0 : Phư¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp a b xx 2 21 + NÕu < 0 : Phư¬ng tr×nh v« nghiÖm - Phư ¬ng ph¸p 4: Dïng c«ng thøc nghiÖm thu gän Ta cã ' = b' 2 - ac víi b = 2b' + NÕu ' > 0 : Phư¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x '' 1 ; a b x '' 2 + NÕu ' = 0 : Phư¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp a b xx ' 21 + NÕu ' < 0 : Phư¬ng tr×nh v« nghiÖm - Phư ¬ng ph¸p 5: NhÈm nghiÖm nhê ®Þnh lÝ Vi-et. NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña phư¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) th×: a c xx a b xx 21 21 . Chó ý: NÕu a, c tr¸i dÊu tøc lµ a.c < 0 th× ph-¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Bµi to¸n 2: BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña phư¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ). XÐt hÖ sè a: Cã thÓ cã 2 kh¶ n¨ng 5 a. Trưêng hîp a = 0 víi vµi gi¸ trÞ nµo ®ã cña m. Gi¶ sö a = 0 m = m0 ta cã: (*) trë thµnh ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt ax + c = 0 (**) + NÕu b 0 víi m = m0: (**) cã mét nghiÖm x = -c/b + NÕu b = 0 vµ c = 0 víi m = m0: (**) v« ®Þnh (*) v« ®Þnh + NÕu b = 0 vµ c 0 víi m = m0: (**) v« nghiÖm (*) v« nghiÖm b. Tr-êng hîp a 0: TÝnh hoÆc ' + TÝnh = b2 - 4ac NÕu > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x 2 1 ; a b x 2 2 NÕu = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp : a b xx 2 21 NÕu < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm + TÝnh ' = b'2 - ac víi b = 2b' NÕu ' > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: a b x '' 1 ; a b x '' 2 NÕu ' = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: a b xx ' 21 NÕu ' < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm - Ghi tãm t¾t phÇn biÖn luËn trªn. Bµi to¸n 3: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiÖm. Cã hai kh¶ n¨ng ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 cã nghiÖm: 1. HoÆc a = 0, b 0 2. HoÆc a 0, 0 hoÆc ' 0 TËp hîp c¸c gi¸ trÞ m lµ toµn bé c¸c gi¸ trÞ m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 1 hoÆc ®iÒu kiÖn 2. Bµi to¸n 4: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ph©n biÖt 0 a 0 hoÆc 0 0 ' a Bµi to¸n 5: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 1 nghiÖm. §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm: 0 0 b a hoÆc 0 a 0 hoÆc 0 0 ' a Bµi to¸n 6: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiÖm kÐp. §iÒu kiÖn cã nghiÖm kÐp: 0 a 0 hoÆc 0 0 ' a Bµi to¸n 7: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) v« nghiÖm. 6 §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm: 0 a 0 hoÆc 0 0 ' a Bµi to¸n 8: T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 1 nghiÖm. §iÒu kiÖn cã mét nghiÖm: 0 0 b a hoÆc 0 a 0 hoÆc 0 0 ' a Bµi to¸n 9 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiÖm cïng dÊu. §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm cïng dÊu: 0 0 a c P hoÆc 0 0 ' a c P Bµi to¸n 10 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm d-¬ng. §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm d-¬ng: 0 0 0 a b S a c P hoÆc 0 0 0 ' a b S a c P Bµi to¸n 11 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã 2 nghiÖm ©m. §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ©m: 0 0 0 a b S a c P hoÆc 0 0 0 ' a b S a c P Bµi to¸n 12 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. §iÒu kiÖn cã hai nghiÖm tr¸i dÊu: P < 0 hoÆc a vµ c tr¸i dÊu. Bµi to¸n 13 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã mét nghiÖm x = x1. C¸ch gi¶i: - Thay x = x1 vµo ph-¬ng tr×nh (*) ta cã: ax1 2 + bx1 + c = 0 m - Thay gi¸ trÞ cña m vµo (*) x1, x2 - HoÆc tÝnh x2 = S - x1 hoÆc x2 = 1 x P Bµi to¸n 14 : T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phô thuéc tham sè m) cã 2 nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn: a. xx 21 b. kxx 2 2 2 1 c. n xx 21 11 d. hxx 2 2 2 1 e. txx 3 2 3 1 7 §iÒu kiÖn chung: 0 hoÆc ' 0 (*) Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã: . )2( )1( 21 21 P a c xx S a b xx a. Tr-êng hîp: xx 21 Gi¶i hÖ 21 21 xx a b xx Thay x1, x2 vµo (2) m Chän c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n (*) b. Tr-êng hîp: kxxxxkxx 21 2 21 2 2 2 1 2)( Thay x1 + x2 = S = a b vµ x1.x2 = P = a c vµo ta cã: S 2 - 2P = k T×m ®-îc gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n (*) c. Tr-êng hîp: xxn nx bx nc xx 2121 21 . 11 Gi¶i ph-¬ng tr×nh - b = nc t×m ®-îc m tho¶ m·n (*) d. Tr-êng hîp: 02 2 2 2 2 1 hPShxx Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh S2 - 2P - h 0 chän m tho¶ m·n (*) e. Tr-êng hîp: Stxx 3PS t 3 3 2 3 1 Gi¶i ph-¬ng tr×nh S 3PS t 3 chän m tho¶ m·n (*) Bµi to¸n 15 : T×m hai sè u vµ v biÕt tæng u + v = S vµ tÝch u.v = P cña chóng. Ta cã u vµ v lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh: x 2 - Sx + P = 0 (*) (§iÒu kiÖn S 2 - 4P 0) Gi¶i ph-¬ng tr×nh (*) ta t×m ®-îc hai sè u vµ v cÇn t×m. Néi dung 6: Giải phương trình, bất phương trình Bµi to¸n1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh trïng ph-¬ng ax4 + bx2 + c = 0 §Æt t = x2 (t0) ta cã ph-¬ng tr×nh at2 + bt + c = 0 Gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai Èn t sau ®ã thay vµo t×m Èn x B¶ng tãm t¾t at2 + bt + c = 0 ax4 + bx2 + c = 0 v« nghiÖm v« nghiÖm 2 nghiÖm ©m v« nghiÖm nghiÖm kÐp ©m v« nghiÖm 1 nghiÖm d-¬ng 2 nghiÖm ®èi nhau 2 nghiÖm d-¬ng 4 nghiÖm 2 cÆp nghiÖm ®èi nhau x1, x2 8 Bµi to¸n 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 0) 1 () 1 ( 2 2 C x xB x xA §Æt x x 1 = t x 2 - tx + 1 = 0 Suy ra t2 = ( x x 1 ) 2 = 2 1 2 2 x x 2 1 2 2 2 t x x Thay vµo ph-¬ng tr×nh ta cã: A(t2 - 2) + Bt + C = 0 At2 + Bt + C - 2A = 0 Gi¶i ph-¬ng tr×nh Èn t sau ®ã thÕ vµo x x 1 = t gi¶i t×m x. Bµi to¸n 3: Gi¶i ph-¬ng tr×nh 0) 1 () 1 ( 2 2 C x xB x xA §Æt x x 1 = t x 2 - tx - 1 = 0 Suy ra t2 = ( x x 1 ) 2 = 2 1 2 2 x x 2 1 2 2 2 t x x Thay vµo ph-¬ng tr×nh ta cã: A(t2 + 2) + Bt + C = 0 At2 + Bt + C + 2A = 0 Gi¶i ph-¬ng tr×nh Èn t sau ®ã thÕ vµo x x 1 = t gi¶i t×m x. Bµi to¸n 4: Gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc cao Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®-a ph-¬ng tr×nh bËc cao vÒ d¹ng: + Ph-¬ng tr×nh tÝch + Ph-¬ng tr×nh bËc hai. Néi dung 7: Giải hệ phương trình Bµi to¸n: Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh cybxa ''' byax c C¸c ph-¬ng ph¸p gi¶i: + Ph-¬ng ph¸p ®å thÞ + Ph-¬ng ph¸p céng + Ph-¬ng ph¸p thÕ + Ph-¬ng ph¸p ®Æt Èn phô Néi dung 7: Giải phương trình vô tỉ Bµi to¸n 1: Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng xgxf )()( (1) Ta cã )3()()( )2(0)( )()( 2 xgxf xg xgxf Gi¶i (3) ®èi chiÕu ®iÒu kiÖn (2) chän nghiÖm thÝch hîp nghiÖm cña (1) Bµi to¸n 2: Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng xgxhxf )()()( 9 §iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph-¬ng tr×nh 0)( 0)( 0)( xg xh xf Víi ®iÒu kiÖn trªn tho¶ m·n ta b×nh ph-¬ng hai vÕ ®Ó gi¶i t×m x. Néi dung 8: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Bµi to¸n: Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng xgxf )()( Ph-¬ng ph¸p 1: xgxf )()( 2 2 )()( 0)( xgxf xg Ph-¬ng ph¸p 2: XÐt f(x) 0 f(x) = g(x) XÐt f(x) < 0 - f(x) = g(x) Ph-¬ng ph¸p 3: Víi g(x) 0 ta cã f(x) = g(x) Néi dung 9: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bµi to¸n: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = f(x) Ph-¬ng ph¸p 1: Dùa vµo luü thõa bËc ch½n. - BiÕn ®æi hµm sè y = f(x) sao cho: y = M - [g(x)]2n , n Z y M Do ®ã ymax = M khi g(x) = 0 - BiÕn ®æi hµm sè y = f(x) sao cho: y = m + [h(x)]2k kZ y m Do ®ã ymin = m khi h(x) = 0 Ph-¬ng ph¸p 2: Dùa vµo tËp gi¸ trÞ hµm. Ph-¬ng ph¸p 3: Dùa vµo ®¼ng thøc. Néi dung 10: Các bài toán liên quan đến hàm số * Điểm thuộc đồ thị Bµi to¸n: Cho (C) lµ ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) vµ mét ®iÓm A(xA;yA). Hái (C) cã ®i qua A kh«ng? §å thÞ (C) ®i qua A(xA;yA) khi vµ chØ khi to¹ ®é cña A nghiÖm ®óng ph-¬ng tr×nh cña (C) A(C) yA = f(xA) Dã ®ã tÝnh f(xA) NÕu f(xA) = yA th× (C) ®i qua A. NÕu f(xA) yA th× (C) kh«ng ®i qua A. * Sự tương giao của hai đồ thị Bµi to¸n : Cho (C) vµ (L) theo thø tù lµ ®é thÞ hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) H·y kh¶o s¸t sù t-¬ng giao cña hai ®å thÞ To¹ ®é ®iÓm chung cña (C) vµ (L) lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung: f(x) = g(x) (*) - NÕu (*) v« nghiÖm th× (C) vµ (L) kh«ng cã ®iÓm chung. - NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (C) vµ (L) tiÕp xóc nhau. - NÕu (*) cã 1 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 1 ®iÓm chung. - NÕu (*) cã 2 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 2 ®iÓm chung. * Lập phương trình đường thẳng 10 Bµi to¸n 1: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(xA;yA) vµ cã hÖ sè gãc b»ng k. Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = ax + b (*) - X¸c ®Þnh a: ta cã a = k - X¸c ®Þnh b: (D) ®i qua A(xA;yA) nªn ta cã yA = kxA + b b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vµo (*) ta cã ph-¬ng tr×nh cña (D) Bµi to¸n 2: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(xA;yA); B(xB;yB) Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = ax + b (D) ®i qua A vµ B nªn ta cã: y ax b y ax b BB AA Gi¶i hÖ ta t×m ®-îc a vµ b suy ra ph-¬ng tr×nh cña (D) Bµi to¸n 3: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) cã hÖ sè gãc k vµ tiÕp xóc víi ®-êng cong (C): y = f(x) Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b Ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ: f(x) = kx + b (*) V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp. Tõ ®iÒu kiÖn nµy ta t×m ®-îc b vµ suy ra ph-¬ng tr×nh cña (D) Bµi to¸n 3: LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(xA;yA) k vµ tiÕp xóc víi ®-êng cong (C): y = f(x) Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b Ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ: f(x) = kx + b (*) V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp. Tõ ®iÒu kiÖn nµy ta t×m ®-îc hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a vµ b (**) MÆt kh¸c: (D) qua A(xA;yA) do ®ã ta cã yA = axA + b (***) Tõ (**) vµ (***) a vµ b Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (D). PHẦN II – HÌNH HỌC A. Kiến thức cần nhớ 1. HÖ thøc l-îng trong tam gi¸c vu«ng. b 2 = ab' c2 = ac' h 2 = b'c' ah = bc a 2 = b2 + c2 222 111 cbh 2. TØ sè l-îng gi¸c cña gãc nhän. 0 < sin < 1 0 < coss < 1 cos sin tg sin cos cot g sin2 + cos2 = 1 a b' c' b c h H B C A 11 tg.cotg = 1 2 2 cos 1 1 tg 2 2 sin 1 cot1 g 3. HÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng. b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B 4. §-êng trßn. - C¸ch x¸c ®Þnh: Qua ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng ta vÏ ®-îc mét vµ chØ mét ®-êng trßn. - T©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng: §-êng trßn cã mét t©m ®èi xøng; cã v« sè trôc ®èi xøng. - Quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®-êng kÝnh vµ d©y. Trong mét ®-êng trßn + §-êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy + §-êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy. - Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y: Trong mét ®-êng trßn: + Hai d©y b»ng nhau th× c¸ch ®Òu t©m + Hai d©y c¸ch ®Òu t©m th× b»ng nhau + D©y nµo lín h¬n th× d©y ®ã gÇn t©m h¬n + D©y nµo gÇn t©m h¬n th× d©y ®ã lín h¬n - Liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y: Trong mét ®-êng trßn hay trong hai ®-êng trßn b»ng nhau: + Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau + Hai d©y b»ng nhau c¨ng hai cung b»ng nhau + Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n + D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n. - VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng vµ ®-êng trßn: VÞ trÝ t-¬ng ®èi Sè ®iÓm chung HÖ thøc liªn hÖ gi÷a d vµ R b a c C B A 12 - §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn c¾t nhau 2 d < R - §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn tiÕp xóc nhau 1 d = R - §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn kh«ng giao nhau 0 d > R - VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng vµ ®-êng trßn: VÞ trÝ t-¬ng ®èi Sè ®iÓm chung HÖ thøc liªn hÖ gi÷a d vµ R - Hai ®-êng trßn c¾t nhau 2 R - r < OO' < R + r - Hai ®-êng trßn tiÕp xóc nhau + TiÕp xóc ngoµi + TiÕp xóc trong 1 OO' = R + r OO' = R - r - Hai ®-êng trßn kh«ng giao nhau + (O) vµ (O') ë ngoµi nhau + (O) ®ùng (O') + (O) vµ (O') ®ång t©m 0 OO' > R + r OO' < R - r OO' = 0 5. TiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn - TÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn: TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm. - DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn: 13 + §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn chØ cã mét ®iÓm chung + Kho¶ng c¸ch tõ t©m cña ®-êng trßn ®Õn ®-êng th¼ng b»ng b¸n kÝnh + §-êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña ®-êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua ®iÓm ®ã. - TÝnh chÊt cña 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau MA, MB lµ hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau th×: + MA = MB + MO lµ ph©n gi¸c cña gãc AMB + OM lµ ph©n gi¸c cña gãc AOB - TiÕp tuyÕn chung cña hai ®-êng trßn: lµ ®-êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ hai ®-êng trßn ®ã: TiÕp tuyÕn chung ngoµi TiÕp tuyÕn chung trong 6. Gãc víi ®-êng trßn Lo¹i gãc H×nh vÏ C«ng thøc tÝnh sè ®o 1. Gãc ë t©m AOB sd AB 2. Gãc néi tiÕp 1 2 AMB sd AB 3. Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung. 1 2 xBA sd AB B O A M d' d O' O d' d O' O B A O M B A O x B A O 14 4. Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®-êng trßn 1 ( ) 2 AMB sd AB sdCD 5. Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®-êng trßn 1 ( ) 2 AMB sd AB sdCD Chó ý: Trong mét ®-êng trßn - C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau - C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau - C¸c gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung b»ng nhau th× b»ng nhau - Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoÆc b»ng 900 cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung. - Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn lµ gãc vu«ng vµ ng-îc l¹i gãc vu«ng néi tiÕp th× ch¾n nöa ®-êng trßn. - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau. 7. §é dµi ®-êng trßn - §é dµi cung trßn. - §é dµi ®-êng trßn b¸n kÝnh R: C = 2R = d - §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R : 180 Rn l 8. DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn - DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R 2 - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0 : 2 360 2 R n lR S 9. C¸c lo¹i ®-êng trßn §-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c §-êng trßn néi tiÕp tam gi¸c §-êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c T©m ®-êng trßn lµ giao cña ba ®-êng trung trùc cña tam gi¸c T©m ®-êng trßn lµ giao cña ba ®-êng ph©n gi¸c trong cña tam gi¸c T©m cña ®-êng trßn bµng tiÕp trong gãc A lµ giao ®iÓm cña hai ®-êng ph©n M D C B A O O B A D C M O C B A O C B A F E J B C A 15 gi¸c c¸c gãc ngoµi t¹i B hoÆc C hoÆc lµ giao ®iÓm cña ®-êng ph©n gi¸c gãc A vµ ®-êng ph©n gi¸c ngoµi t¹i B (hoÆc C) 10. C¸c lo¹i h×nh kh«ng gian. a. H×nh trô. - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2rh - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2rh + r 2 - ThÓ tÝch h×nh trô: V = Sh = r 2h b. H×nh nãn: - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2rl - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2rl + r 2 - ThÓ tÝch h×nh trô: V = 1 2 r 3 h c. H×nh nãn côt: - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l - ThÓ tÝch: V = 2 2 1 2 1 2 1 ( ) 3 h r r r r d. H×nh cÇu. - DiÖn tÝch mÆt cÇu: S = 4R 2 = d - ThÓ tÝch h×nh cÇu: V = 4 3 3 R 11. Tø gi¸c néi tiÕp: DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 - Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn - Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm. - Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d-íi mét gãc . B. C¸c d¹ng bµi tËp. D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng nhau. C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba - Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c - Hai gãc b»ng tæng hoÆc hiÖu cña hai gãc theo thø tù ®«i mét b»ng nhau - Hai gãc cïng phô (hoÆc cïng bï) víi gãc thø ba - Hai gãc cïng nhän hoÆc cïng tï cã c¸c c¹nh ®«i mét song song hoÆc vu«ng gãc - Hai gãc ã le trong, so le ngoµi hoÆc ®ång vÞ - Hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh - Hai gãc cña cïng mé tam gi¸c c©n hoÆc ®Òu - Hai gãc t-¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau hoÆc ®ång d¹ng r: b¸n kÝnh Trong ®ã h: chiÒu cao r: b¸n kÝnh Trong ®ã l: ®-êng sinh h: chiÒu cao r1: b¸n kÝnh d¸y lín r2: b¸n kÝnh ®¸y nhá Trong ®ã l: ®-êng sinh h: chiÒu cao R: b¸n kÝnh Trong ®ã d: ®-êng kÝnh 16 - Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng nhau. D¹ng 2: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng ®o¹n thø ba - Hai c¹nh cña mmét tam gi¸c c©n hoÆc tam gi¸c ®Òu - Hai c¹nh t-¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau - Hai c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh (ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh vu«ng) - Hai c¹nh bªn cña h×nh thang c©n - Hai d©y tr-¬ng hai cung b»ng nhau trong mét ®-êng trßn hoÆc hai ®-êng b»ng nhau. D¹ng 2: Chøng minh hai ®-êng th¼ng song song C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai ®-êng th¼ng cïng song song víi ®-êng th¼ng thø ba - Chøng minh hai ®-êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng thø ba - Chøng minh chóng cïng t¹o víi mét c¸t tuyÕn hai gãc b»ng nhau: + ë vÞ trÝ so le trong + ë vÞ trÝ so le ngoµi + ë vÞ trÝ ®ång vÞ. - Lµ hai d©y ch¾n gi÷a chóng hai cung b»ng nhau trong mét ®-êng trßn - Chóng lµ hai c¹nh ®èi cña mét h×nh b×nh hµnh D¹ng 3: Chøng minh hai ®-êng th¼ng vu«ng gãc C¸ch chøng minh: - Chóng song song song song víi hai ®-êng th¼ng vu«ng gãc kh¸c. - Chøng minh chóng lµ ch©n ®-êng cao trong mét tam gi¸c. - §-êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm d©y vµ d©y. - Chóng lµ ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï nhau. D¹ng 4: Chøng minh ba ®-êng th¼ng ®ång quy. C¸ch chøng minh: - Chøng minh chóng lµ ba ®-êng cao, ba trung tuyÕn, ba trung trùc, ba ph©n gi¸c trong (hoÆc mét ph©n gi¸c trong vµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc kia) - VËn dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Talet. D¹ng 5: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau C¸ch chøng minh: * Hai tam gi¸c th-êng: - Tr-êng hîp gãc - c¹nh - gãc (g-c-g) - Tr-êng hîp c¹nh - gãc - c¹nh (c-g-c) - Tr-êng hîp c¹nh - c¹nh - c¹nh (c-c-c) 17 * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän b»ng nhau - Cã c¹nh huyÒn b»ng nhau vµ mét c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau - C¹nh gãc vu«ng ®«i mét b»ng nhau D¹ng 6: Chøng minh hai tam gi¸c ®ång d¹ng C¸ch chøng minh: * Hai tam gi¸c th-êng: - Cã hai gãc b»ng nhau ®«i mét - Cã mét gãc b»ng nhau xen gi÷a hai c¹nh t-¬ng øng tû lÖ - Cã ba c¹nh t-¬ng øng tû lÖ * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét gãc nhän b»ng nhau - Cã hai c¹nh gãc vu«ng t-¬ng øng tû lÖ D¹ng 7: Chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc C¸ch chøng minh: Gi¶ sö ph¶i chøng minh ®¼ng thøc: MA.MB = MC.MD (*) - Chøng minh: MAC MDB hoÆc MAD MCB - NÕu 5 ®iÓm M, A, B, C, D cóng n»m trªn mét ®-êng th¼ng th× ph¶i chøng minh c¸c tÝch trªn cïng b»ng tÝch thø ba: MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tøc lµ ta chøng minh: MAE MFB MCE MFD MA.MB = MC.MD * Tr-êng hîp ®Æc biÖt: MT2 = MA.MB ta chøng minh MTA MBT D¹ng 8: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp C¸ch chøng minh: DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800 - Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn - Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm. - Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d-íi mét gãc . D¹ng 9: Chøng minh MT lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn (O;R) C¸ch chøng minh: - Chøng minh OT MT t¹i T (O;R) - Chøng minh kho¶ng c¸ch tõ t©m O ®Õn ®-êng th¼ng MT b»ng b¸n kÝnh - Dïng gãc néi tiÕp. D¹ng 10: C¸c bµi to¸n tÝnh to¸n ®é dµi c¹nh, ®é lín gãc C¸ch tÝnh: - Dùa vµo hÖ thøc l-îng trong tam gi¸c vu«ng. - Dùa vµo tû sè l-îng gi¸c - Dùa vµo hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng - Dùa vµo c«ng thøc tÝnh ®é dµi, diÖn tÝch, thÓ tÝch...
0 Nhận xét