Bài 1: (4,0 điểm). a) Tính giá trị biểu thức A =        3,5 3 1 2         7 1 3 6 1 : 4 +7,5 b) Rút gọn biểu thức: B = 4 2 9 7 7 7 4 2.8 .27 4.6 2 .6 2 .40.9   c) T×m ®a thøc M biÕt r»ng :   2 2 2 M x xy x xy y      5 2 6 9 . Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn     2012 2014 2 5 3 4 0 x y     . Bài 2: (4,0 điểm). a) Tìm x : 3 1 5 1 x 2 1    b) Tìm x, y, z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và x + y +z = 11 c) Tìm x, biết :     1 11 2 2 n n x x      (Với n là số tự nhiên) Bài 3: (4,0 điểm). a) Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 13cm. Biết độ dài 3 đường cao tương ứng lần lượt là 2cm, 3cm, 4cm. b) Tìm x, y nguyên biết : 2xy – x – y = 2 Bài 4: (6,0 điểm). Cho tam giác ABC ( AB< AC , góc B = 600 ). Hai phân giác AD và CE của ABC cắt nhau ở I, từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác AI tại H, cắt AB ở P, cắt AC ở K. a) Tính AIC  b) Tính độ dài cạnh AK biết PK = 6cm, AH = 4 cm. c) Chứng minh  IDE cân. Bài 5: (2.0 điểm) Chứng minh rằng 10 là số vô tỉ. .............. Hết............. Giám thị xem thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh::........................................... SBD........................................ Giám thị 1:.................................................... Giám thị 2:.............................. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN VĨNH LỘC ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH KHÁ,GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 11/04/2017 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2016-2017 MÔN : TOÁN. Nội dung Điểm Bài 1 (4,0đ) . Câu a: (1 điểm) A =        3,5 3 1 2         7 1 3 6 1 : 4 +7,5 =        2 7 3 7 :         7 22 6 25 + 2 15 = 6 35 : 42  43 + 2 15 = 43  245 + 2 15 = 86  490 + 86 645 = 86 155 Câu b: ( 1 điểm) B= 7 7 7 4 4 2 9 2 6 2 40 9 2 8 27 4 6         = 2 3 2 3 5 2 3 2 3 14 7 10 8 13 6 11 9        =   2 3   2 3 5 2 3 2 3 10 7 4 11 6 2 3        = 3 2 Câu c: (2 điểm)     2 2 2 2 2 2 M x xy x xy y M x xy y x xy            5 2 6 9 6 9 5 2 => 2 2 2 2 2 M x xy y x xy x xy y         6 9 5 2 11 Ta có     2012 2014 2 5 3 4 0 x y     Ta cã :         2012 2012 2014 2014 2 5 0 2 5 3 4 0 3 4 0 x x y y               Mµ     2012 2014 2 5 3 4 0 x y     =>     2012 2014 2 5 3 4 0 x y     =>     2012 2014 1 2 2 5 0 2 1 3 4 0 1 3 x x y y                    . VËy 1 2 2 1 1 3 x y         Vậy M = 2 2 5       +          3 4 2 5 11 - 2 3 4        = 4 25 - 3 110 - 9 16 = 36 1159 0.5 đ 0,5đ 0,5đ 0.5 0.5 0,5 0.25 0.5 0.25 2. (1,0đ) 3 1 5 1 x 2 1    3 1 2 1 5 1 x    0,25đ 51 x  = 61 TH1: x+ 51 = 61 x = - 301 TH2: x+ 51 = - 61 x = - 61 - 51 = = - 30 11 Vậy x= - 301 ; x = - 30 11 0,25đ 0,25đ 0,25đ b. (1,5đ) Ta có : 2x = 3y suy ra 3 2 x y  hay 15 10 x y  4y = 5z suy ra 5 4 y z  hay 10 8 y z  Vậy 15 10 8 x y z   Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau 15 10 8 x y z   = 15 10 8 x y z     = 11 33 = 13 Suy ra x = 5, y =103 , z = 83 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25 c 1,5 điểm ( x +2)n+1 = ( x +2)n+11 ( x +2)n+1 - ( x +2)n+11 =0 (x+2)n+1  10   1 2  x   =0 TH 1: (x+2)n+1 = 0 suy ra x = -2 TH2: 1 - (x +2)10 = 0 (x +2)10 = 1 x + 2 = 1 suy ra x = -1 x + 2 = -1 suy ra x = -3 Vậy x = -2; x=-1; x=-3 0.25 0.5 0.25 0.5 Bài 3 (4.0đ) a (2.0đ) Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là x, y,z ( cm) ( x,y,z > 0) Theo bài ra ta có : x +y + z = 13 và 2x= 3y =4z = 2 SABC Suy ra 6 4 3 x y z   Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau 6 4 3 x y z   = 13 1 6 4 3 13 x y z       suy ra x = 6, y = 4 ; z = 3 KL: 0,25 đ 0,75 đ 0,75 0.25 b. (2,0đ) 2xy – x – y = 2 4xy - 2x -2y =4 2x(2y-1) - 2y + 1 = 5 (2y -1) ( 2x -1) =5 HS xét 4 trường hợp tìm ra ( x,y) = 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2         ( Mỗi trường hợp đúng cho 0.25 đ) Vậy ( x,y) = 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2         0,5 đ 0,5 đ 1 đ Bài 4 (6.0đ) I A B C P D E M K H F 1 (2.0đ) a/ Ta có  ABC = 600 suy ra  BAC +  BCA = 1200 AD là phân giác của  BAC suy ra  IAC = 2 1  BAC CE là phân giác của  ACB suy ra  ICA = 2 1  BCA Suy ra  IAC +  ICA = 2 1 . 1200 = 600 Vây  AIC = 1200 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 2 b/ Xét  AHP và  AHK có (2đ)  PAH =  KAH ( AH là phân giác của  BAC) AH chung  PHA =  KHA = 900 Suy ra  AHP =  AHK (g-c-g) suy ra PH = KH ( 2 cạnh tương ứng). Vậy HK= 3cm Vì  AHK vuông ở H theo định lý Pitago ta có AK2 = AH2 + HK2 = 42 +32 = 25 Suy ra AK = 5 cm 0.5 đ 0,5 đ 0.5 0.25 0.25 c (2.0đ) Vì  AIC = 1200 Do đó  AIE =  DIC = 600 Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF = AE Xét  EAI và  FAI có AE = AF  EAI =  FAI AI chung Vậy EAI =  FAI (c-g-c) suy ra IE =IF (hai cạnh tương ứng) (1)  AIE =  AIF = 600 suy ra  FIC =  AIC -  AIF = 600 Xét  DIC và  FIC có  DIC =  FIC = 600 Cạnh IC chung  DIC =  FCI Suy ra  DIC =  FIC( g-c-g) Suy ra ID = IF (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) và (2) suy ra  IDE cân tại I 0,25 đ 0,5 đ 0.25 0.5 0.25 0.25 Bài 5 (2,0đ) Giả sử 10 là số hữu tỷ 10 = a b ( a,b là số tự nhiên , b khác 0 ; (a;b) = 1 ) 2 2 a b = 10 Suy ra a2 = 10b2 a 2  a2  4  10b2  4  b2  2  b  2 Vậy ( a;b)  1 Nên 10 là số vô tỷ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ Chú ý: Nếu HS làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.