Đề kiểm tra 15 phút - Chương 6 - Đề số 1 - Đại số 10

 

Đề bài

Câu 1. Không dùng bảng hay máy tính cầm tay, chứng minh rằng

$\sin {15}^{\circ }+\sin {75}^{\circ }>1$ .

Câu 2. Cho $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{2}$ . Tính ${\sin }^3\alpha +{\cos }^3\alpha$

Lời giải chi tiết

Câu 1. Ta có:

${\left(\sin {15}^{\circ }+sin{75}^{\circ }\right)}^2$

$={\left(\sin {15}^{\circ }+\cos {15}^{\circ }\right)}^2$

$\begin{array}{c}={\sin }^2{15}^{\circ }+{\cos }^2{15}^{\circ }+2\sin {15}^{\circ }\cos {15}^{\circ }\\ =1+\sin {30}^{\circ }=\frac{3}{2}>1\end{array}$

Mà $\sin {15}^{\circ }+\sin {75}^{\circ }>0$ nên suy ra $\sin {15}^{\circ }+\sin {75}^{\circ }>1$.

Câu 2.

Ta có: $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{2}$

$\Rightarrow {\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow 1+2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha =-\frac{3}{8}$

Do đó

$\begin{array}{c}{\sin }^3\alpha +{\cos }^3\alpha \\ ={\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^3-3\sin \alpha \cos \alpha \left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)\\ =\frac{1}{8}+\frac{9}{16}=\frac{11}{6}.\end{array}$