Đề kiểm tra 15 phút - Chương 4 - Đề số 3 - Đại số 10

 

Đề bài

Câu 1. Giải bất phương trình $\frac{x+2}{3x+1}>\frac{x-2}{2x-1}$ .

Câu 2. Xác định $m$ để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất

$\{\begin{array}{c}2x+1-m\le 0\\ mx+2x-1\le 0\end{array}$

Lời giải chi tiết

Câu 1.

Ta có

$\begin{array}{c}\frac{x+2}{3x+1}>\frac{x-2}{2x-1}\\ \iff \frac{x+2}{3x+1}-\frac{x-2}{2x-1}>0\\ \iff \frac{\left(x+2\right)\left(2x-1\right)-\left(x-2\right)\left(3x+1\right)}{\left(3x+1\right)\left(2x-1\right)}>0\end{array}$

$\begin{array}{c}\iff \frac{-x^2+8x}{\left(3x+1\right)\left(2x-1\right)}>0\\ \iff \frac{x\left(-x+8\right)}{\left(3x+1\right)\left(2x-1\right)}>0\end{array}$

Bảng xét dấu

Bất phương trình có tập nghiệm $S=\left(-\frac{1}{3};0\right)\cup \left(\frac{1}{2};8\right)$ . 

Câu 2.

Ta có$\{\begin{array}{c}2x+1-m\le 0\\ mx+2x-1\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\le \frac{m-1}{2}\left(1\right)\\ \left(m+2\right)x\le 1\left(2\right)\end{array}$

Xét bất phương trình (2) . có ba trương hợp

+) $m=-2$: (2) trở thành $0x\le 1$ .Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi $x\in R$ . Suy ra hệ có nghiệm là $x\le \frac{-3}{2}$. Suy ra hệ có vô số nghiệm.

+) $m>-2$: (2) có nghiệm $x\le \frac{1}{m+2}$ . Hệ bất phương trình tương đương với $\{\begin{array}{c}x\le \frac{m-1}{2}\\ x\le \frac{1}{m+2}\end{array}$. Suy ra hệ có vô số nghiệm.

+) $m<-2$: (2) có nghiệm $x\ge \frac{1}{m+2}$. Suy ra hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $\begin{array}{c}\frac{m-1}{2}=\frac{1}{m+2}\iff m^2+m-2=2\\ \iff m^2+m-4=0\\ \iff m=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{2}\end{array}$

Kết hợp với điều kiện $m<-2$ chọn $m=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$ .

L