UBND HUYỆN VĨNH BẢO ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (Đề gồm 01 trang) MÔN TOÁN 7 NĂM HỌC 2017 - 2018 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1 (2,0 điểm) a) Tính M = 2 2 1 1 0,4 0,25 9 11 3 5 2017 : . 7 7 1 2018 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6                b) Tìm x, biết: 2017 x 2018 x 2019 x 2       . Câu 2 (3,0 điểm) a) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện: a b c b c a c a b c a b         Hãy tính giá trị của biểu thức: b a c B 1 1 1 . a c b                 b) Cho hai đa thức: f(x) (x 1)(x 3)    và 3 2 g(x) x ax bx 3     Xác định hệ số a;bcủa đa thức g(x) biết nghiệm của đa thức f (x) cũng là nghiệm của đa thức g(x). c) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: x y z xyz    . Câu 3 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì (M khác B và C). Gọi D, E, F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BH. a) Chứng minh: ∆DBM = ∆FMB. b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi. c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng DK. Câu 4 (1,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC,  0 B=60 ). Hai tia phân giác AD (D BC  ) và CE (E AB  ) của ABC cắt nhau ở I. Chứng minh  IDE cân. Câu 5 (1,0 điểm) Cho 2 2 2 2 n 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 S ... 1 2 3 n          ( với n N  và n >1) Chứng minh rằng Sn không là số nguyên. ----- Hết ----- Giám thị số 01 ( Kí, ghi rõ họ và tên) Giám thị số 02 ( Kí, ghi rõ họ và tên) ĐỀ CHÍNH THỨC UBND HUYỆN VĨNH BẢO ĐÁP ÁN: MÔN TOÁN 7 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu Nội dung Điểm Câu 1 a) Ta có: 2 2 1 1 0,4 0,25 9 11 3 5 2017 M : 7 7 1 2018 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6                 2 2 2 1 1 1 5 9 11 3 4 5 2017 : 7 7 7 7 7 7 2018 5 9 11 6 8 10                 1 1 1 1 1 1 2 5 9 11 3 4 5 2017 : 1 1 1 7 1 1 1 2018 7 5 9 11 2 3 4 5                                         2 2 2017 : 0 7 7 2018          0.25 0.5 0.25 b) Có 2018 x 0   và 2017 x 2019 x x 2017 2019 x x 2017 2019 x 2             => 2017 x 2018 x 2019 x 2       Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2017)(2019 – x) ≥ 0 và 2018 x  = 0 , suy ra: 2017 ≤ x ≤ 2019 và x = 2018   x 2018 Vậy x = 2018. 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 2 a) Vì a, b,c là các số dương nên a b c 0    Nên theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c b c a c a b a b c b c a c a b 1 c a b a b c                     a b c b c a c a b 1 1 1 2 c a b              a b b c c a 2 c a b        Mà: b a c B 1 1 1 a c b                 a b c a b c B 8 a c b                   Vậy: B 8  0,25 0,25 0,25 0,25 b) HS biết tìm nghiệm của f(x) (x 1)(x 3)    = 0     x 1; x 3 Nghiệm của f(x) cũng là nghiệm của 3 2 g(x) x ax bx 3     nên: 0,25 Thay x 1 vào g(x) ta có: 1 a b 3 0     Thay x 3   vào g(x) ta có:      27 9a 3b 3 0 Từ đó HS biến đổi và tính được: a 3; b 1     0,25 0,5 c) Vì x,y,z Z  nên giả sử 1 x y z    Theo bài ra: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 yz yx zx x x x x        Suy ra: 2 x 3 x 1    Thay vào đầu bài ta có:        1 y z yz y yz 1 z 0 y 1 z 1 z 2 0 y 1 z 1 2                   TH1: y 1 1 y 2 z 1 2 z 3              TH2: y 1 2 y 3 z 1 1 z 2              (loại) Vậy (x; y; z) = (1;2;3) và các hoán vị https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3 I B C A H M E D F K Q P a) Chứng minh được ∆DBM = ∆FMB (ch-gn) 1,0 b) Theo câu a ta có: ∆DBM = ∆FMB (ch-gn)  MD = BF (2 cạnh tương ứng) (1) +) C/m: ∆MFH = ∆HEM  ME = FH (2 cạnh tương ứng) (2) Từ (1) và (2) suy ra: MD + ME = BF + FH = BH BH không đổi  MD + ME không đổi (đpcm) 0,25 0,25 0,25 0,25 c) Vẽ DPBC tại P, KQBC tại Q, gọi I là giao điểm của DK và BC +) Chứng minh: BD = FM = EH = CK +) Chứng minh: ∆BDP = ∆CKQ (ch-gn)  DP = KQ (cạnh tương ứng) +) Chứng minh: IDP IKQ   ∆DPI = ∆KQI (g-c-g) ID = IK(đpcm 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 4 F E D I C A B Ta có  0 ABC 60     0 BAC BCA 120   AD là phân giác của BAC  suy ra IAC  = 1 2 BAC  CE là phân giác của ACB  suy ra ICA = 1 2 BCA  Suy ra IAC ICA   = 1 2 .1200 = 600  AIC  = 1200 Do đó AIE DIC    = 600 Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF = AE Xét EAI và FAI có: AE = AF EAI FAI    AI chung VậyEAI = FAI (c-g-c) suy ra IE =IF (hai cạnh tương ứng) (1) AIE AIF    = 600    FIC AIC AIF    = 600 Chứng minh DIC = FIC (g-c-g) Suy ra ID = IF (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) và (2) suy ra IDE cân tại 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 5 Có n 2 2 2 2 1 1 1 1 S 1 1 1 ... 1 1 2 3 n          2 2 2 1 1 1 (n 1) ( ... ) 2 3 n       Đặt 2 2 2 1 1 1 A ... 2 3 n     Do A > 0 nên S n 1 n   Mặt khác 1 1 1 1 A ... 1 1.2 2.3 (n 1).n n        n 1 1 S (n 1) (1 ) n 2 n 2 n n           (do 1 0 n  )      n 2 S n 1 n nên Sn không là số nguyên 0,25 0,25 0,25 0,25 Chú ý: - Học sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa - Hình vẽ sai không chấm điểm bài hình