I. Số học

1. Nêu quy tắc chuyển vế, quy tắc dấu ngoặc?

2. Viết dạng tổng quát của phân số. Cho ví dụ.

3. Thế nào là hai phân số bằng nhau? Cho ví dụ.

4. Nêu tính chất cơ bản của phân số? Viết dạng tổng quát.

5. Phát biểu quy tắc rút gọn phân số? Thế nào là phân số tối giản? Cho ví dụ.

6. Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu ta làm như thế nào? Cho ví dụ.

7. Phát biểu quy tắc quy đồng mẫu số nhiều phân số? Cho ví dụ.

8. Phát biểu và viết dạng tổng quát quy tắc thực hiện các phép toán cộng, trừ,

nhân, chia phân số?

9. Phát biểu tính chất cơ bản của phép cộng và phép nhân phân số

a) Nêu quy tắc tìm giá trị phân số của một số cho trước? Cho ví dụ.

b) Nêu quy tắc tìm một số biết giá trị phân số của nó? Cho ví dụ.

c) Nêu cách tính tỷ số của hai số a và b? Tỷ số phần trăm? Cho ví dụ.

II. Hình học

1. Góc là hình như thế nào? Kí hiệu? Hình vẽ minh họa.

2. Thế nào là góc vuông, góc nhọn, góc tù, góc bẹt?

3. Thế nào là hai góc phụ nhau; bù nhau; kề nhau, kề bù?

4. Khi nào thì xOy   y

Oz xOz ? Vẽ hình minh họa.

5. Thế nào là tia phân giác của một góc? Cách vẽ tia phân giác của một góc?

6. Tam giác ABC là hình như thế nào? (O; R) là hình như thế nào?

7. Nêu các cách chứng tỏ 1 tia nằm giữa hai tia? (đưa ra ví dụ minh họa)

A. LÝ THUYẾT

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2

MÔN TOÁN LỚP 6

Năm học 2019 - 2020

A. 4

10

B. 6

15

C. 8

20

D. 12

30

Câu 2. Phân số nào sau đây bằng phân số 3

7

A. 3

7

 B. 3

7

 C. 3

7

D. 3

7 

Câu 3. Cho 15 3 . x 4

  Khi đó giá trị của x là:

A. 20 B. – 20 C. 63 D. 57

Câu 4. Cho biết

x 1 9

4 12

   . Khi đó giá trị của x là:

A. 4 B. 2 C. 4 D. 2

Câu 5. Tính    6  10 bằng

A. 10 B. – 16 C. – 10 D. 16

Câu 6. Tính 5. 8 bằng

A. – 40 B. 40 C. – 13 D. 13

Câu 7. Khi x  2 thì x bằng:

A. 2 B. – 2 C. 2 hoặc – 2 D. 4

Câu 8. Tập hợp các số nguyên ước của 2 là:

A. 1; 2 B. 1; 2 C. 0; 2; 4; 6;.... D.   2; 1;1; 2

Câu 9. Viết tích 3.3.3.3.3 dưới dạng một lũy thừa

A.  

2 3 B.  

3 3 C.  

4 3 D.  

5 3

Câu 10. Hỗn số 3 2

5  được viết dưới dạng phân số là:

A. 13

5

B. 13

5  C. 10

5  D. 7

5

Câu 11. Kết quả của phép tính 1 1 1

5 4 20

  là

A. 10 B. 0 C. 1

10

 D. 1

10

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Phân số nào sau đây không bằng phân số 2

5


B. CÁC DẠNG BÀI TẬP 

Câu 12. Tỉ số % của

3

15

và 4

20

là:

A. 100% B. 12% C. 30% D. 15%

Câu 13. 75% của 60 là:

A. 40 B. 80 C. 45 D. 90

Câu 14.

6

5

của

7

4

là:

A. 41

20

B. 10

21

C. 1 2

10 D. Đáp án khác

Câu 15. Biết

5

6

của x bằng

1 2

10

thì x bằng:

A. 63

25

B. 7

4

C. 38

25 D. 4

7

Câu 16. Học kì I lớp 6A có 20 học sinh giỏi. Học kì II số học sinh giỏi tăng thêm

20%. Số học sinh giỏi của lớp 6A trong học kì II là:

A. 16 B. 24 C. 40 D. 4

Câu 17. Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai?

1. Hình tạo bởi hai tia cắt nhau là một góc

2. Góc tù là một góc nhỏ hơn góc bẹt

3. Nếu tia Om là tia phân giác của x

Oy thì xOm  y

Om

4. Nếu a

Ob  b

Oc thì Ob là tia phân giác của aOc

5. Góc vuông là góc có số đo bằng o 90

6. Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm trên

hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa cạnh chung.

7. Tam giác ABC là hình gồm ba đoạn thẳng AB, BC, CA

8. Mọi điểm nằm trên đường tròn đều cách tâm một khoảng bằng bán kính.

Câu 18. aOb   bOc a

Oc thì

A. Tia Oa nằm giữa hai tia Ob, Oc B. Tia Oc nằm giữa hai tia Oa, Ob

C.Tia Ob nằm giữa hai tia Oa, Oc D. Cả ba phương án trên đều sai

Câu 19. Biết  o  o xOy   70 ,yOz 110 thì hai góc trên là hai góc

A. Kề bù B. Phụ nhau C. Kề nhau D. Bù nhau

Câu 20. Biết  0 xOy  60 ,  0 yOz  30 . Hai góc đó trên là hai góc

A. Kề bù B. Phụ nhau C. Kề nhau D. Bù nhau 

II. Bài tập tự luận

Dạng 1: Thực hiện phép tính

Bài 1. Thực hiện phép tính

a) 3 5 1 2 11 6 4 1

4 6 2 3

 

      

b) 17 11 9 2 1 6 : 3

20 15 20

 

c) 3 7 3 4 : .4

7 5 7

      d) 2 15 7 5 3 . .1 :

9 23 29 23

     

Bài 2. Thực hiện phép tính

a) 3 5 1 2 11 6 4 1

4 6 2 3

 

      

b) 7 1 23 5 2 0,5 : 2

8 4 26

       

c) 13 3 12 17 3 2 4

15 7 15

              

 d)   2 4 15 2 . .0, 375. 10 .

3 5 24

  

Bài 3. Thực hiện phép tính

a) 3 4 3 5 : 4 :

4 5 4  b) 3 2 3 3 3 . . 5 7 7 5 7

    

c) 2 7 7 1 2 4 . .5 .5 5

7 11 11 3 3

 

       d) 5 4 2 1 4 . 7 .1 8 .7

39 5 3 3 5

 

    

Bài 4: Thực hiện phép tính một cách hợp lý

a) 2 8 2 5 2 2 5 . 5 . 5 . 7 11 7 11 7 11

  . b)     3 3 4 2 . 0,4 1 .2,75 1,2 :

4 5 11

   

c)

3 5 5 4 6 4

5 4 4

5.27 .4 5 .2 2 .3

: .

6 10 6

       

d)

5 5 5 15 15 5 15

3 9 27 11 121 :

8 8 8 16 16 8 16

3 9 27 11 121

    

    

Bài 5. Thực hiện phép tính một cách hợp lý

a) 7 7 7 7 ... 10.11 11.12 12.13 69.70

    b)

2 2 2 5 5 5 ... 1.6 6.11 26.31

  

c) 2 3 50

1 1 1 1 1 ...

2 4 8 1024

    

2  2  2 ... 2

Dạng 2: Tìm x

Bài 6. Tìm x, biết:

a) 3 7 3

x :

10 15 5

  b) 8 46 1

. x

23 24 3 

c) 3 1 3 x : 1 3 1

21 2 4

 

       

d) x 25%.x 0,5  

Bài 7. Tìm x, biết:

a) 3 27 11

x .

22 121 9

  b) 1 1 1

: x

5 5 7  

c) 2 2 5 2 : x 4

11 3 6

 

      

d) 1 3 3 x 16 13,25

3 4

  

Bài 8. Tìm x, biết

a)   3 1 1 x 2 x 3 x

4 4 4

    b) 5 1 30%x x

6 3

  

c) 2x 1 3x 12 0      d) 2x 1 1 49 3.2

2 2

  

Bài 9. Tìm x, biết

a) 1 3 2x

2 4

  b)   4 6 4 2 10 2 . . . 2x 1

13 5 13 5 13

 

      

b) 3 3 8 x 5 x 2 x

7 4 7

 

       

d) 3 9 x .x 0

16

 

Dạng 3: Bài toán có nội dung thực tế

Bài 10. Lớp 6A có 50 học sinh. Trong đó có 3

5

số học sinh thích chơi đá bóng, 80%

số học sinh thích chơi đá cầu,

7

10

số học sinh thích chơi cầu lông. Hỏi:

a) Lớp 6A có bao nhiêu học sinh thích chơi bóng đá?

b) Lớp 6A có bao nhiêu học sinh thích chơi đá cầu?

c) Lớp 6A có bao nhiêu học sinh thích chơi cầu lông?

Bài 11. Một bể nước hình chữ nhật có chiều cao 1,6 m, chiều rộng bằng

3

4

chiều

cao, chiều dài bằng 150% chiều rộng. Tính thể tích của bể.

Bài 12. Một ô tô đã đi 120 km trong ba giờ . Giờ thứ nhất xe đi được

1

3 quãng

đường. Giờ thứ hai xe đi được 40% quãng đường còn lại. Hỏi trong giờ thứ ba xe

đi được bao nhiêu kilômét?

Bài 13. Khối 6 của một trường THCS có ba lớp gồm 120 học sinh. Số học sinh lớp

6A chiếm 35% số học sinh của khối . Số học sinh lớp 6B bằng

20

21

số học sinh lớp

6A, còn lại là học sinh lớp 6C . Tính số học sinh mỗi lớp.

Bài 14. Học sinh lớp 6 A đã trồng được 56 cây trong ba ngày. Ngày thứ nhất trồng

được

3

8

số cây. Ngày thứ hai trồng được

4

7

số cây còn lại. Tính số cây học sinh lớp

6 A trồng trong mỗi ngày?

Bài 15. Một cửa hàng bán một số mét vải trong ba ngày. Ngày thứ nhất bán 3

5

số

mét vải. Ngày thứ hai bán 2

7

số mét vải còn lại. Ngày thứ ba bán nốt 40 mét vải.

Tính tổng số mét vải cửa hàng đã bán .

Bài 16. Nam đọc một cuốn sách trong ba ngày. Ngày thứ nhất đọc

3

8

cuốn sách,

ngày thứ hai đọc

1

3

cuốn sách, ngày cuối cùng đọc nốt 35 trang còn lại. Hỏi quyển

sách dày bao nhiêu trang?

Bài 17. Tổng kết năm học ba lớp 6A, 6B, 6C có 45 em đạt học sinh giỏi. Số học sinh

giỏi của lớp 6A bằng

1

3

tổng số học sinh giỏi của 3 lớp. Số học sinh giỏi của lớp 6B

bằng 120 % số học sinh giỏi của lớp 6A. Tính số học sinh giỏi của mỗi lớp ?

Bài 18. Một người mang đi bán một số trứng. Sau khi bán 5

8

số trứng thì còn lại

21 quả . Tính số trứng mang đi bán.

Bài 19. Hai lớp 6A và 6B có tất cả 102 học sinh. Biết rằng

2

3

số học sinh của lớp

6A bằng

3

4

số học sinh của lớp 6B. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ?

Bài 20. Khối 6 của một trường có 4 lớp. Trong đó số học sinh lớp 6A bằng

4

13

tổng

số học sinh của ba lớp còn lại. Số học sinh lớp 6B bằng

5

12

tổng số học sinh của ba

lớp còn lại. Số học sinh lớp 6C bằng

24

61

tổng số học sinh của ba lớp còn lại. Số học

sinh của lớp 6D là 32 học sinh. Tính tổng số học sinh của 4 lớp?

Bài 21. Giá vé vào sân vận động xem bóng đá là 200000đồng/ vé. Sau khi giảm giá

vé, số khán giả tăng thêm 25%, do đó doanh thu tăng 12,5%. Hỏi giá vé sau khi

giảm là bao nhiêu?

Bài 22.

a) Tính tỉ lệ xích của bản vẽ, biết chiều dài vẽ 2,5cm và chiều dài thật 2,5km.

b) Trên bản đồ có tỉ lệ xích 1:1000000, hai thành phố cách nhau 13cm.

Hỏi trên thực tế hai thành phố cách nhau bao nhiêu km?

c) Hai địa điểm A và B trên thực tế cách nhau 350km.

Hỏi trên bản đồ có tỉ lệ 1:500000, A và B cách nhau bao nhiêu cm?

Bài 23. Một xí nghiệp làm một số dụng cụ, giao cho ba phân xưởng thực hiện. Số

dụng cụ phân xưởng I làm bằng 30% tổng số. Số dụng cụ phân xưởng II làm gấp

rưỡi so với phân xưởng I. Phân xưởng III làm ít hơn phân xưởng II là 84 chiếc.

Tính số dụng cụ mỗi phân xưởng đã làm.

Bài 24. Học kỳ I số học sinh giỏi của lớp 6A bằng

2

7

số học sinh còn lại. Sang học kì

II, số học sinh giỏi tăng thêm 8 bạn (số học sinh cả lớp); nên số học sinh giỏi bằng

2

3

số còn lại. Hỏi học sinh kỳ I lớp 6A có bao nhiêu học sinh giỏi.

Bài 25. Một cửa hàng bán gạo bán hết số gạo của mình trong 3 ngày. Ngày thứ

nhất bán được

3

7

số gạo của cửa hàng. Ngày thứ hai bán được 25% số gạo bán

ngày 1. Ngày thứ ba bán được 26 tấn.

a) Ban đầu cửa hàng có bao nhiêu tấn gạo?

b) Tính số gạo mà cửa hàng bán được trong ngày 1, ngày 2.

c) Số gạo cửa hàng bán được trong ngày 1 chiếm bao nhiêu % số gạo của cửa

hàng? 

Bài 26. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia đối của tia Ox lấy điểm B sao cho

OA  OB  3cm.

Trên tia AB lấy điểm M, trên tia BA lấy điểm N sao choAM  BN  1cm .

Chứng tỏ O là trung điểm của AB và MN.

Bài 27. Vẽ đoạn thẳng AB =6cm. Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho AC

+ BD= 9cm.

a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C.

b) Tính độ dài đoạn thẳng CD

Bài 28.

a) Vẽ tam giác ABC biết AB = AC = 4cm ; BC = 6cm. Nêu rõ cách vẽ?

b) Vẽ đoạn thẳng BC = 3,5cm. Vẽ một điểm A sao cho AB = 3cm, AC = 2,5 cm.

Nêu rõ cách vẽ? Đo và tính tổng các góc của tam giác ABC.

Bài 29. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy, Oz sao cho

 o

,  o xOy   30 xOz 150 .

a) Tính y

Oz .

b) Gọi Ox’ là tia đối của tia Ox . Viết tên các cặp góc kề bù trong hình.

c) Kẻ Ot là tia phân giác góc y

Oz . Có nhận xét gì về x

Oy và t

Oz ?

Bài 30. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy, Ot sao cho

x

Ot = 550, x

Oy = 1100.

a) Chứng tỏ Ot là tia phân giác của góc x

Oy .

b) Gọi Ox’và Oy’ lần lượt là tia đối của hai tia Ox, Oy. Tính góc x

'Oy' .

Kể tên các cặp góc kề bù.

Bài 31. Cho 2 góc kề bù x

Ot và y

Ot , biết góc  o yOt  60 .

a) Tính số đo góc x

Ot .

b) Vẽ phân giác Om của góc y

Ot và phân giác On của góc tOx.

Hỏi hai góc m

Ot và t

On có quan hệ gì? Góc m

Oy và góc x

On có quan hệ gì?

Bài 32. Cho hai góc kề bù x

Oy và y

Ot , trong đó  o xOy  40 . Gọi Om là tia phân

giác của y

Ot .

Dạng 4: Hình học

a) Tính mOx .

b) Trên nửa mặt phẳng không chứa tia Oy và có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ

tia On sao cho  o xOn  70 . Chứng tỏ tia Om và tia On là hai tia đối nhau.

Bài 33. Cho 2 điểm M và N nằm cùng phía đối với A, nằm cùng phía đối với B.

Điểm M nằm giữa A và B. Biết AB = 5cm; AM = 3cm; BN = 1cm. Chứng tỏ rằng:

a) Bốn điểm A, B, M, N thẳng hàng

b) Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng MB

c) Vẽ đường tròn tâm N đi qua B và đường tròn tâm A đi qua N, chúng cắt nhau

tại C, tính chu vi của  CAN.

Bài 34. Cho đoạn thẳng OO’ = 6cm. Vẽ các đường tròn tâm O bán kính 4cm và tâm

O’ bán kính 3cm chúng cắt nhau tại A và B; cắt đoạn thẳng OO’ lần lượt tại M và N.

a) Tính AO, BO, AO’, BO’?

b) N có phải là trung điểm của đoạn thẳng OO’ không? Vì sao?

c) Tính MN?

Bài 35. Trên đoạn thẳng AB = 3 cm lấy điểm M. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N

sao cho AM = AN.

a) Tính độ dài đoạn thẳng BN khi BM = 1 cm.

b) Hãy xác định vị trí của M (trên đoạn thẳng AB) để BN có độ dài lớn nhất.

Bài 36. Cho đường thẳng xy, O thuộc xy. Trên nửa mặt phẳng bờ xy vẽ tia Ot, Oz

sao cho  o  o xOt   60 ,yOz 45

a) Kể tên các cặp góc kề nhau, kề bù có trên hình vẽ.

b) Tính x

Oz , z

Ot,t

Oy

Bài 37. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy và Oz sao cho

 o  o xOy   90 ,xOz 120

a) Trong ba tia Ox, Oy, Oz thì tia nào nằm giữa hai tia còn lại? Tại sao?

b) Tính y

Oz

c) Vẽ tia Ot là tia phân giác của x

Oz. Tính t

Oz .

Bài 38. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy và Oz sao cho

 o  o xOy   60 ,xOz 120

a) Chứng minh Oy là tia phân giác của x

Oz.

b) Gọi Ox’ là tia đối của tia Ox. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ Ox, vẽ tia Ot sao cho

 o tOy  90 . Chứng minh Ot là phân giác của z

Ox' .

Dạng 5*: Một số bài tập nâng cao

Bài 39.

a) Cho 3 3 3 3 3 M . 10 11 12 13 14

     Chứng minh rằng 1  M  2 .

b) Chứng tỏ rằng      

1 1 1 1 1 N ...

2 3 4 16 17 không là số tự nhiên.

Bài 40. So sánh hai số sau:

19

18

13 1 A

13 1

  

20

19

13 1 B

13 1

  

Bài 41. Cho phân số: 6n 5

p 3n 2

  

(nN)

a) Chứng minh rằng phân số p là phân số tối giản.

b) Với giá trị nào của n thì phân số p có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó.

Bài 42. Cho phân số   

5n 6 A

8n 7 n 

Với giá trị nào của n thì A rút gọn được?

Bài 43.

a) Tìm số nguyên n để phân số 6n 3

3n 1

có giá trị là một số nguyên.

b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số n 13

n 2

 là phân số tối giản.

Bài 44. Tìm x, biết:

a)  

1 1 1 1 101 ... 5.8 8.11 11.14 x x 3 1540

    

b)  

   

 

    

1 1 1 1 ... 2 3 4 200 1 x 20 . 1 2 3 198 199 200 ... 199 198 197 2 1

Bài 45.

1) Tìm các cặp số nguyên x, y sao cho:

a)   

x 1 1

7 14 y

 b) 5 y 1 1

x 1 3 6

   

2) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn: 2x  3y  14

Bài 46.

a) Chứng minh rằng nếu 7x  4y37 thì 13x  18y37

b) Tìm n n  1 sao cho A  1!2!3!.... n! là số chính phương.

Bài 47. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia

cho 7 dư 4. 

Bài 48. Cho phân số 2019 A

x 49   . Tìm x  để:

a) A có giá trị lớn nhất

b) A có giá trị nhỏ nhất.

Bài 49. Chứng minh rằng: Tồn tại n > 0 sao cho   n 25  1 101

Bài 50. Cho A = 100

1 1 1 1 1 ... 2 3 4 2 1

      . Chứng minh rằng 50 < A < 100

ĐÁP ÁN ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 TOÁN 6

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: C

Câu 2: D

Câu 3: B

Câu 4: A

Câu 5: B

Câu 6: A

Câu 7: C

Câu 8: D

Câu 9: D

Câu 10: B

Câu 11: B

Câu 12: A

Câu 13: C

Câu 14: C

Câu 15: A

Câu 16: B

Câu 17: 1-S 2-S 3-Đ 4-S 5-Đ 6-Đ 7-S 8-Đ

Câu 18: C

Câu 19: A

Câu 20: B

II. Bài tập tự luận

Dạng 1: Thực hiện phép tính

Bài 1. Thực hiện phép tính

a) 32

3 b) 49

15 c) 5

7

 d) 12

Bài 2. Thực hiện phép tính

a) 31

4 b) 13

12

 c) 1642

105 d) – 5

Bài 3. Thực hiện phép tính

a) 4

15

 b) 6

7

 c) 7

3

 d) 10

Bài 4: Thực hiện phép tính một cách hợp lý

a) 37

7 b) 44

5  c) 648 d) 2

3


Bài 5. Thực hiện phép tính một cách hợp lý

a) 3

5

 b) 150

31 c) 2

51

2

Dạng 2: Tìm x

Bài 6. Tìm x, biết:

a) 97

x

90  b) x  2 c) x  6 d) 2

x

3 

Bài 7. Tìm x, biết:

a) 3

x

22  b) 7

x

2  c) 48

x

121   d) x  9

Bài 8. Tìm x, biết

a) 23

x

6  b) 5

x

7  c) x  4và 1

x

2  d) x  1

Bài 9. Tìm x, biết 

a) Xét 1

x

4

 ta có: 1 3 5 2x x

2 4 8     (thỏa mãn)

Xét 1

x

4

 ta có: 1 3 1 2x x

2 4 8       (thỏa mãn)

Vậy ;

1 5

x

8 8

      

b) ;

9 1

x

8 8

      

c) 11

x

180

 

d) ; ;

3 3

x 0

4 4

      

Dạng 3: Bài toán có nội dung thực tế

a) Lớp 6A có số bạn thích chơi bóng đá là: 3 50 30

5

  (học sinh)

b) Số học sinh thích chơi đá cầu của lớp 6A là: 80%50  40(học sinh)

c) Số học sinh thích chơi cầu lông của lớp 6A là: 7 50 35

10

  (học sinh)

Bài 10:

Bài 11:

Chiều rộng của bể nước là: , , 3 1 6 1 2

4

  (m)

Chiều dài của bể nước là: 150%1,2  1,8 (m)

Thể tích của bể nước hình chữ nhật là: 1,21,81,6  3,456(m3).

Bài 12:

Trong giờ thứ nhất xe đi được số km là: 1 120 40

3

  (km)

Trong giờ thứ hai xe đi được số km là: 120 4040%  32(km)

Trong giờ thứ ba xe đi được số km là: 120  40 32  48(km).

Bài 13:

Số học sinh lớp 6A là 42 học sinh, số học sinh lớp 6B là 40 học sinh, số học sinh

lớp 6C là 38 học sinh. 

Ngày thứ nhất lớp 6A trồng được 21 cây, ngày thứ hai trồng được 20 cây, ngày

thứ 3 trồng được 15 cây.

Bài 14:

Bài 15:

Ngày thứ hai cửa hàng bán được số phần là: 3 2 4 1

5 7 35

         (số mét vải)

Số phần ứng với 40 mét vải là: 2 4 2

5 35 7   (số mét vải)

Vậy cửa hàng đó có số mét vải là: :

2 40 140

7  (m)

Bài 16:

Quyển sách dày 120 trang.

Bài 17:

Số học sinh giỏi của lớp 6A là 15 học sinh,

Số học sinh giỏi của lớp 6B là 18 học sinh,

Số học sinh giỏi của lớp 6C là 12 học sinh.

Bài 18:

Số trứng mang đi bán là 56 quả.

Bài 19:

Số học sinh của lớp 6A là 54 học sinh,

Số học sinh của lớp 6B là 48 học sinh.

Bài 20:

Số học sinh của lớp 6A là 40 học sinh, số học sinh của lớp 6B là 50, số học sinh

của lớp 6C là 48

Vậy tổng số học sinh của 4 lớp là 170 học sinh

Bài 21:

Giá vé sau khi giảm là 180000 đồng.

Bài 22:

a) Tỉ lệ xích của bản vẽ là 1:100000. 

Gọi tổng số dụng cụ được giao cho 3 phân xưởng là x (x >0)

Số dụng cụ phân xưởng I làm được là: 3

x

10

Số dụng cụ phân xưởng II làm được là: 9

x

20

Số dụng cụ phân xưởng III làm được là: 3 9 1

x x x x

10 20 4   

Theo bài ra ta có: 9 1

x x 84

20 4

 

Từ đó em tính được x = 420.

Vậy số dụng cụ phân xưởng I đã làm là 126, số dụng cụ phân xưởng II đã làm là

189, số dụng cụ phân xưởng III đã làm là 105 dụng cụ.

Số học sinh giỏi kỳ I lớp 6A là 10 học sinh.

Bài 23:

Bài 24:

Bài 25:

a) Ban đầu cửa hàng có 56 tấn gạo.

b) Ngày 1 cửa hàng bán được 24 tấn gạo, ngày thứ 2 cửa hàng bán được 6 tấn

gạo.

c) Số gạo trong ngày 1 chiếm 42,85% số gạo của cửa hàng.

Dạng 4: Hình học

Bài 26:


+ Vì A và B thuộc 2 tia đối nhau chung gốc O nên điểm O nằm giữa hai điểm A và

B.

Mà theo đề bài ta có: OA = OB = 3cm

Suy ra O là trung điểm của AB.

+ Vì OA = OB (gt); AM = BN (gt)  OB + BN = OA + AM hay OM = ON.

Vậy O là trung điểm của MN.

A M O N B

a) Vì D nằm giữa A và B nên: AD + DB=AB.

Thay AB= 6cm ta có AD + DB = 6 (cm)

Lại có AC + DB=9cm (gt)  AD + DB < AC + DB hay AD < AC (1)

Mà D và C cùng nằm giữa A và B hay D, C cùng thuộc tia AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra D nằm giữa A và C

A D C B

Bài 27:

b) Vì D nằm giữa A và C suy ra: AD+DC= AC

Lại có AC + BD = 9 nên AD + DC + BD = 9 hay (AD+DB) + DC = 9

Thay (AD+DB) = 6 ta có 6 + DC = 9

Vậy DC = 3 (cm)

Bài 28.

a)

Vẽ đoạn thẳng BC = 6cm.

Vẽ đường tròn tâm B bán kính 4cm.

Vẽ đường tròn tâm C bán kính 4cm.

Hai đường tròn này cắt nhau tại A. Ta có tam giác ABC có BC = 6cm.

Điểm A thuộc đường tròn (B; 4cm) nên AB = 4cm.

Điểm A thuộc đường tròn (C; 4cm) nên AC = 4cm.

Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện đề bài.

b) Học sinh làm tương tự.

A

B C

Bài 29:





a) Xét trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có: xOy   xOz  (vì 30o  150o )

 Tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.

Khi đó ta có: xOy  yOz   xOz  hay 30o  y

Oz  150o   o yOz  120 .

b) Các cặp góc kề bù là:   xOy ;yOx ' ;   xOz ;zOx '

c) Vì Ot là tia phân giác góc yOz  nên    o yOz 120 o yOt tOz 60 2 2    

Vậy tOz   2.

xOy

t

x'

z

y

O x

a) Xét trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: xOt xOy    (vì o o 55 110  )

 Tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy (1)

Khi đó: xOt tOy xOy      hay 55 tOy 110 o o      o yOz 55  .

y'

y

x'

t

O x

Bài 30:

x

Ot  t

Oy  55o (2)

Từ (1) và (2) suy ra Ot là tia phân giác của góc xOy .

b)  o x'Oy' 110

Học sinh tự kể tên các cặp góc kề bù.

Bài 31:






a)   o xOt 120

b) Do Om là tia phân giác của góc yOt  nên 2.tOm  yOt 

Tương tự On là tia phân giác của góc xOt  nên 2.tOn   xOt 

Suy ra 2 mOt tOn y       o   Ot  xOt  180

   o 180 o mOt tOn 90

2

  

Vậy mOt  và tOn  là hai góc phụ nhau.

Tương tự ta có góc mOy  và góc xOn là hai góc phụ nhau.

n

m

x

t

y O

Bài 32:





a) Ta có x

Oy  y

Ot  180o (Vì 2 góc kề bù)

hay 40o  y

Ot  180o  y

Ot  140o

Ta có: Om là tia phân giác của tOy  nên  1 o tOm tOy 70 2  

Vì 2 góc xOy  và yOt  kề bù nên Ox và Ot là hai tia đối nhau

suy ra t

Om và mOx là hai góc kề bù t

Om  o  mOx  180 hay

70o  mOx   180o  mOx  110o

b) Ta có mOx  xOn   110o  70o  180o  mOx  và xOn là hai góc bù nhau (1)

Do Om và Oy cùng thuộc nửa mp có bờ là đường thẳng chứa tia Ox;

Lại có On và Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng chứa

tia Ox nên Om và On nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng

chứa tia Ox mOx  và xOn là hai góc kề nhau (2)

Từ (1) và (2) suy ra mOx  và xOn là hai góc kề bù hay tia Om và tia On là hai tia

đối nhau (đpcm).

n

t O x

Bài 33:

a) Bốn điểm A,B, M, N thẳng hàng vì chúng cùng nằm trên đường thẳng MN

b) Vì điểm M nằm giữa A và B nên ta có: BM = AB – AM = 2 (cm)

M, N  tia AB mà BM > BN (2 cm > 1 cm)  N nằm giữa B và M.

Do đó ta có: MN + NB = BM  MN = BM – BN = 1 cm  MN = BN

Vậy N là đường trung điểm của BM (đpcm).

c) Đường tròn tâm N đi qua B nên CN = NB = 1 cm

Đường tròn tâm A đi qua N nên AC = AN = AM + MN = 4 cm

Vậy chu vi tam giác CAN là: AC + CN + NA = 4 + 1 + 4 = 9 (cm).

C

A M N B





a) Vì A, B cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính 4cm nên AO = BO = 4cm.

Vì A, B cùng thuộc đường tròn tâm O’ bán kính 3cm nên AO’ = BO’ = 3cm.

b) Vì N thuộc đường tròn tâm O’ bán kính 3cm nên O’N = 3cm

Lại có N nằm trên đoạn OO’ nên điểm N nằm giữa hai điểm O và O’(1) nên ta có:

ON NO  ' OO' hay ON = OO’ – NO’ = 6 – 3 = 3cm.

Suy ra ON = NO’.

B

A

O N M O'

Bài 34:

Vậy N là trung điểm của đoạn thẳng OO’ .

c) MN = 1cm.

Bài 35:

Điểm M nằm giữa hai điểm A, B nên MA = AB – MB = 3 – 1 = 2 (cm)

Suy ra AN = AM = 2cm

Điểm A nằm giữa hai điểm N, B nên BN = AN + AB = 2 + 3 = 5 (cm)

BN = AN + AB, AB không đổi nên BN lớn nhất khi AN lớn nhất.

AN lớn nhất khi AM lớn nhất.

Mà AM lớn nhất khi AM = AB, khi đó M trùng với B và BN = 6 cm.

N A M B

Bài 36:




a) Các cặp góc kề nhau là:   xOt ;tOz  ;   tOz ;zOy  ;   xOt ;tOy  ;   xOz ;zOy 

Các cặp góc kề bù là:   xOt ;tOy  ;   xOz ;zOy 

b) x

Oz  135o ; z

Ot  75o ; t

Oy  120o .

60 45

t z

x y O





a) Trên nửa mặt phẳng bờ Ox ta có xOy xOz    (vì o o 90 120  )

nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.

b) Vì tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz nên ta có: xOy yOz xOz    

hay 90 yOz 120 yOz 30 o o o       .

c)   o tOz 60





z t y

O x

t

x'

z y

O x

Bài 37:

Bài 38:

a) Trên nửa mặt phẳng bờ Ox ta có x

Oy  x

Oz (vì 60o  120o )

nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz (1)

Vì tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz nên ta có: x

Oy  y

Oz  x

Oz

hay 60o  y

Oz  120o  y

Oz  60o suy ra x

Oy  y

Oz (2)

Từ (1) và (2) suy ra Oy là tia phân giác của x

Oz.

b) Vì x

'Oz và z

Ox là hai góc kề bù nên x

'Oz  180o 120o  60o

Vì x

'Oy và y

Ox là hai góc kề bù nên x

'Oy  180o  60o  120o

Trên nửa mặt phẳng bờ Oy ta có y

Ot  y

Ox ' (vì 90o  120o )

nên tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Ox’ x

'Ot  t

Oy  x

'Oy  x

'Ot  120o  90o  30o

Xét trên nửa mặt phẳng bờ Ox’ ta có x

'Ot  x

'Oz (vì 30o  60o )

nên tia Ot nằm giữa hai tia Ox’ và Oz (3)

Vì tia Ot nằm giữa hai tia Ox’ và Oz nên x

'Ot  t

Oz  x

'Oz  t

Oz  60o 30o  30o

Do đó x

'Ot  t

Oz (4)

Từ (3) và (4) suy ra Ot là phân giác của z

Ox' (đpcm).

Dạng 5*: Một số bài tập nâng cao

Bài 39.

a)          

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 M

10 11 12 13 14 15 15 15 15 15

 M  1

               3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 20 M S 2

10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10 10

Vậy 1  M  2

b) Ta có

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

                                             

Vì . 1 1 1 1 1 3

6 7 8 6 2

    ; . 1 1 1 1 1 3

9 10 11 9 3

    ; . 1 1 1 1 1 3

12 13 14 12 4

    ;

1 1 1 1

15 16 17 5

   .

Nên 1 1 1 1 1 1 1 1 N 2 2 3

2 3 4 5 2 2 4 4

                    

Chứng minh tương tự ta có N  2.

Vậy ta chứng minh được 2  N  3nên N không phải là số tự nhiên.

Bài 40:

Ta có:   18 19

18 18 18

13 13 12 13 13 1 12 12 A 13

13 1 13 1 13 1

          

Tương tự ta có:

20

19 19

13 1 12 B 13

13 1 13 1

     

Vì 18 19

18 19

12 12 13 1 13 1 A B

13 1 13 1

      

  .

Bài 41:

a) Gọi d là ước chung của 6n+5 và 3n+2

Ta có 6n 5d và 3n 2d

3n 2d 23n 2d hay 6n  4d

 6n  5  6n  4 d  1 d  d  1   

Vậy phân số 6n 5

p 3n 2

  

 (nN) là phân số tối giản. 

b) Ta có 6n 5 6n 4 1 1

p 2

3n 2 3n 2 3n 2

  

   

  

Phân số p đạt giá trị lớn nhất khi 1

3n  2

đạt giá trị lớn nhất, khi đó 3n+2 đạt giá

trị nhỏ nhất.

Vì 3n  2  2 nên 3n 2nhỏ nhất bằng 2 khi n = 0.

Vậy giá trị lớn nhất của p là 5

2

khi n = 0.

A rút gọn được khi 5n 6;8n 7  1

Đặt 5n 6;8n 7  d

     ;  5n 6 d

8 5n 6 5 8n 7 13 d d 1 13

8n 7 d

 

        

 

  

Để 5n 6;8n 7  1thì d = 13.

Khi d =13  5n  613  85n  6  40n  48  39n  39  n  9 13  

Mà 39n 3913 n  913

Suy ra n có dạng 13k + 4 (kN)

Vậy n là các số tự nhiên chia 13 dư 4 thì A có thể rút gọn được.

Bài 43.

Ta có: 6n 3 6n 2 5 5 2

3n 1 3n 1 3n 1

        

Bài 42:

Để phân số 6n 3

3n 1

có giá trị là một số nguyên thì 5

3n 1

 có giá trị là một số nguyên.

Suy ra 3n + 1 là ước của 5 nên 3n 15;1;1;5

Xét các trường hợp trên ta tìm được n = 0 và n = -2 thỏa mãn.

Thử lại ta thấy n = 0, n = -2 đúng.

Vậy n =0 hoặc n = -2 thì phân số 6n 3

3n 1

có giá trị một số nguyên.

b) Ta có:   n 13 15 1 n 2

n 2 n 2

     

Để phân số n 13

n 2

 là phân số tối giản thì phân số 15

n 2

 là phân số tối giản.

Khi đó 15 và n – 2 phải là hai số nguyên tố cùng nhau. Vì 15 có hai ước khác 1,

khác 15 là 3 và 5. Từ đó suy ra n – 2 không chia hết cho 3, không chia hết cho 5.

Vậy n  3k  2 và n  5k  2 k N,k  0 . 

a) Ta có:       

3 3 3 3 303 ... 5.8 8.11 11.14 x x 3 1540

... 1 1 1 1 1 1 1 1 303

5 8 8 11 11 14 x x 3 1540

         

1 1 303

x 311

5 x 3 1540

     

b) Ta đặt ... 1 2 3 198 199 P

199 198 197 2 1

     

Bài 44:

... 1 2 3 198 P 1 1 1 1 1

199 198 197 2

                                  


... . ... 200 200 200 200 200 1 1 1 1 P 200

200 199 198 197 2 200 199 198 2

                 


Do đó:  

   

 

    

1 1 1 1 ... 2 3 4 200 1 x 20 . 1 2 3 198 199 200 ... 199 198 197 2 1

 . 1 1

x 20 x 20 1 x 21

200 200

        .

Vậy x = 21.

Bài 45.

1)

a) 2x 1 1

14 y

  

2x 1y  14

Mà x, y  Z nên 2x + 1  Z, (- y) Z

Suy ra 2x+1; (-y) là ước của 14.

Mà 2x + 1 là số lẻ nên ta có bảng sau:

2x + 1 1 -1 7 - 7

-y 14 -14 2 -2

x 0 -1 3 -4

y -14 14 -2 2

Vậy các cặp số nguyên (x;y) cần tìm là: (0;-14); (-1;14); (3;-2); (-4; 2)

b) Học sinh giải tương tự như trên được các cặp số nguyên (x;y) cần tìm là:

(-29;0); (31;1); (-9;-1); (11; 2); (7;3); (-5;-2); (3;8); (-1;-7). 

2) Xét 2x  5y  14

Ta có: 142; 2x2 5y2

Do (5,2)=1 nên y2

Ta có 5y < 14  y  2.

Mà y là số nguyên dương và y2 nên y = 2.

Ta có 2x 5.2  14  2x  4  x  2

Vậy x=2, y=2.

Bài 46.

a) Xét hiệu: A  97x  4y 213x 18y  37x

 A chia hết cho 37.

Vì 7x  4y chia hết cho 37 nên 97x  4y chia hết cho 37.

213x 18y chia hết cho 37, mà 2;37  1 suy ra 13x  18y chia hết cho 37.

Vậy nếu 7x  4y37 thì 13x  18y37

b)

Với n = 1 ta có ! 2 A  1  1

Với n = 2 ta có A  1! 2! 3

Với n = 3 ta có ! ! ! 2 A  1  2  3  9  3

Với n = 4 ta có A  1! 2!3! 4! 33

Với n = 5 ta có A  153

Với n = 4 ta có A  873

Nhận xét: với n  5 thì 5!, 6!,….,n! đều tận cùng là 0.

Suy ra

..

! ! ... ! ...

0

A       33 5



6 n 3

A không phải là số chính phương (đpcm).

Vậy n = 1 hoặc n =3.

Bài 47:

- Vì a chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4 nên ta có:

a 23, a 35, a  47

Suy ra a 13, a 25, a 37

Suy ra a 1513, a 2505, a 3 497

Suy ra a 523, a 525, a 527

Vậy a + 52  BC(3; 5; 7) a 52105

Suy ra a  52  105k (k = 1, 2, 3,…)

Lần lượt thử k = 1, 2, 3,… mà a là số tự nhiên nhỏ nhất nên với k = 1 ta được:

a = 105 – 52 = 53.

Vậy a = 53 là số cần tìm.

Điều kiện x  49

a) Nếu x < 49 thì x – 49 < 0, ta có A  0 .

Nếu x > 49 thì x – 49 > 0. Vì x  nên x  49 và x  49  1.

Khi đó 2019 A 2019

x 49

   .

A = 2019 khi x – 49 =1  x = 50.

Vậy A có giá trị lớn nhất là 2019 khi x = 50.

b) Nếu x > 49 thì x – 49 > 0, ta có A  0.

Nếu x < 49 thì 49 – x > 0. Vì x nên 49  x và 49  x  1.

Khi đó 2019 2019 A 2019

x 49 49 x

       .

Vậy A = - 2019 khi 49 – x = 1x = 48.

Vậy A có giá trị nhỏ nhất là -2019 khi x = 48.

Bài 48:

Bài 49:

Xét 102 số:

1 a1  25 1;

2 a2  25 1;…;

102 a102  25 1

Theo nguyên lý Dirichlet, 102 số khi chia cho 101 sẽ tồn tại 2 số có cùng số dư.

Giả sử 2 số là am;an cùng số dư khi chia cho 101 (m>n)

      m n am a      n 101   25 1 25 1 101    

 25    m  25n 101  25n 25mn 1 101

Vì 25n

,101  1 nên 25  mn 1 101 (đpcm).

Bài 50:

2 3 99 100

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 ... .... ... 2 3 2 5 6 7 2 9 15 2 2 1

       

                               

Ta thấy 1 1 1 1 1.2

2 3 2 2 2

    ;

 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 .4

2 5 6 7 2 2 2 2 2

       

 .......... 

Làm tương tự với các ngoặc còn lại ta có:

2 3 99

2 3 99

100

1 1 1 1 A 1 .2 .2 .2 ... .2 1 1 1 ... 1 100

2 2 2 2

           



Vậy A<100. (1)

Mặt khác,

99 100 100 100

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 .... ... 2 3 4 5 6 7 8 2 1 2 1 2 2

     

                           

Ta thấy 2

1 1 1 1 1 1 2.

3 4 4 4 2 2

    

 3

1 1 1 1 1 1 4. 5 6 7 8 2 2

    

 .................

Làm tương tự với các ngoặc còn lại ta có:

100 100

100

1 1 1 1 1 A 1 .... 50 1 50

2 2 2 2 2

         



Vậy A> 50 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 50<A<100 (đpcm).