CHIẾC ĐÈN THOMSON VÀ SUPERTASK – KHI SIÊU NHÂN THỬ SỨC VỚI TOÁN HỌC

 


CHÚNG TA ĐÃ TỪNG NÓI VỀ NGHỊCH LÝ CỦA ZENO VỀ NHỮNG ANH HÙNG THỜI TRUNG CỔ, TƯỞNG NHƯ ĐÃ BẤT LỰC TRƯỚC NHỮNG LẬP LUẬN KHÓ TIN. TRÊN GIẢ THUYẾT, ACHILLES MUỐN ĐUỔI KỊP CON RÙA PHẢI THỰC HIỆN VÔ HẠN QUÃNG ĐƯỜNG (NGẮN DẦN), VÀ TỪ ĐÓ KHÔNG THỂ HOÀN THÀNH ĐƯỢC NHIỆM VỤ TRÊN. TUY VẬY, DÙNG NHỮNG KIẾN THỨC VỀ GIỚI HẠN, TA ĐÃ DỄ DÀNG CHỨNG MINH ĐƯỢC RẰNG LƯỢNG VÔ HẠN QUÃNG ĐƯỜNG ẤY, VẪN CÓ THỂ THỰC HIỆN TRONG MỘT LƯỢNG THỜI GIAN HỮU HẠN. HY LẠP CỔ ĐẠI NGÀY ẤY CHƯA THỰC SỰ CÓ MỘT QUAN NIỆM RÕ RÀNG VỀ NHỮNG VẤN ĐỀ NHƯ VẬY, VÀ PHẢI ĐẾN GIỮA THẾ KỈ XX, NHÀ TRIẾT HỌC NGƯỜI ANH JAMES F. THOMSON, CÙNG BẰNG MỘT NGHỊCH LÝ PHỨC TẠP KHÁC, ĐÃ ĐƯA RA MỘT THUẬT NGỮ CHUNG CHO NHỮNG BÀI TOÁN NHƯ VẬY: SUPERTASK (TẠM DỊCH LÀ CÔNG VIỆC SIÊU HẠNG).

Supertask được định nghĩa là một dãy vô hạn đếm được những hành động được thực hiện trong một khoảng thời gian hữu hạn. (vô hạn đếm được ở đây, hiểu đơn giản là tất cả phần tử trong tập vô hạn ấy đều có thể được đánh dấu bằng một phần tử trong tập hợp số tự nhiên N). Những công việc như vậy thực tế có thể đưa ra rất nhiều ví dụ khác nhau, điển hình như cuộc chạy đua của Achilles: tất cả chúng ta đều đã từng chạy, và theo lập luận của Zeno, điều đó có nghĩa là chúng ta cũng đã từng thực hiện những công việc bao gồm vô số hành động nhỏ trong một khoảng thời gian nhất định. Nhưng ngoài trường hợp đó ra, rất nhiều supertask đã trở thành những nghịch lý cực kỳ khó giải quyết, điển hình là câu hỏi “Chiếc đèn Thomson”

I – Chiếc đèn Thomson: nghịch lý?

Có một chiếc đèn công tắc. Mỗi lần ta nhấn công tắc, đèn sẽ chuyển từ sáng thành tắt, hoặc ngược lại. Giả sử vào thời điểm = 0, đèn đang sáng (ON). Sau đó 1 giây, ta sẽ nhấn công tắc để đèn tắt (OFF). Lại tiếp sau đó 0,5 giây, ta nhấn công tắc một lần nữa để đèn sáng. Và cứ như vậy, sau một khoảng thời gian bằng một nửa khoảng thời gian ngay trước nó, ta lại nhấn công tắc để đèn chuyển trạng thái một lần. Coi thời gian để đèn chuyển trạng thái là tức thời. Dùng những kiến thức về giới hạn, ta có thể chứng minh được tổng vô hạn những hoạt động nhấn công tắc này là 2 giây. Câu hỏi đặt ra là: vào thời điểm = 2, tức sau 2 giây, đèn sẽ sáng hay tắt?

Time

State

0.000

On

1.000

Off

1.500

On

1.750

Off

1.875

On

2.000

?

Thomson lập luận rằng, ở thời điểm đó đèn không thể sáng vì trong bất kì thời điểm nào đưa ra mà đèn đang sáng (như 0, 1.5, 1.875,…), sẽ luôn tồn tại một thời điểm sau nó mà đèn tắt. Tương tự, đèn cũng không thể tắt vì luôn tồn tại một thời điểm sau đó để đèn sáng lên. Thế nhưng đèn chỉ có thể tắt hoặc sáng, vậy có thể xem đây là một nghịch lý hay không?

Khi nghiên cứu về quãng đường mà một người đi được trong Nghịch lý phân đôi của Zeno, ta xem những độ dài đó tạo thành một dãy hội tụ: \frac{1}{2};\frac{3}{4};\frac{7}{8};... Dãy số này sẽ tiến về 1, và vì thế luôn có thể kết luận rằng chúng ta sẽ hoàn thành quãng đường đi được đó.

Tuy nhiên, đối với chiếc đèn Thomson, nếu coi 2 trạng thái đóng, mở của đèn lần lượt là 0 và 1, ta lại có một dãy số phân kì, tức là, dãy số không tồn tại giới hạn để nó tiến về:

0; 1; 0; 1;...

Dãy số này thực tế cũng tương tự với dãy số Grandi: “Tính tổng S=1-1+1-1+1-1+...”, một câu hỏi cũng từng làm đau đầu nhiều nhà toán học. Dùng công thức của Cesàro, các nhà toán học đã chứng minh được dãy số sẽ hội tụ về \frac{1}{2}. Tuy nhiên câu trả lời này vẫn chưa đủ để làm Thomson hài lòng: không thể nói là chiếc đèn nửa sáng nửa tắt vào một thời điểm bất kì được.

II – Một câu hỏi thiếu dữ kiện?

Lần đầu tiên tác giả bài viét biết đến câu chuyện này là lúc giáo viên dạy Toán lớp 11 kể lại khi đang giảng bài học về giới hạn. Sau bài giảng đầy đủ, chi tiết về giới hạn mà cả lớp vừa mới được học, thầy tôi chỉ đơn giản kết thúc những câu hỏi về chiếc đèn đó như sau: “Người đưa ra câu hỏi này rõ ràng chưa học qua môn giải tích!” Như vậy, bài toán chiếc đèn Thomson thực sự có sai lầm hay lỗ hổng ở đâu? Và chúng ta có thể dùng kiến thức về giải tích để chứng minh điều đó như thế nào?

Paul Benacerraf đã đưa ra một trong những lập luận phản biện tiêu biểu nhất cho vấn đề Chiếc đèn của Thomson này. Ông đồng ý với Thomson rằng, dùng dữ kiện đã cho trong thí nghiệm ta không thể xác định đèn sáng hay tắt ở t=2. Tuy nhiên, ông không cho rằng từ đó có thể suy ra một nghịch lý về trạng thái của đèn ở = 2, hay nói đúng hơn, ta có thể tự phỏng đoán trạng thái của nó là bất kì thứ gì: sáng, tắt, vỡ tan hay vụt biến mất khỏi thế giới. Bởi lẽ, đơn giản câu hỏi thiếu dữ kiện để xác định câu trả lời. Bài toán của Thomson chỉ nói về trạng thái của đèn ở thời điểm bất kì thuộc khoảng [0;2) mà không nói bất kì điều gì ở thời điểm = 2. Thomson lập luận ở mọi thời điểm đèn sáng sẽ luôn tồn tại một thời điểm sau đó mà nó tắt và ngược lại, nhưng nó cũng chỉ đúng với thuộc [0;2). Điều đó giống như xác định giá trị của hàm f(x) tại = 2 nhưng chỉ cho các giá trị của f(x) với x \in [0;2) vậy: khi đó hoặc là hàm số sẽ không xác định tại = 2, hoặc là ta có thể gán cho hàm số bất cứ giá trị nào tùy thích. Vì thế, chiếc đèn của Thomson cũng giống như việc giấu một chiếc đèn trong phòng kín và hỏi ta rằng nó đang sáng hay tắt vậy: đơn giản là không có đủ dữ kiện để xác minh!

Chúng ta có thể tưởng tượng việc trả lời trạng thái của đèn ở t = 2 cũng như trả lời chữ số của số pi được hiện ra gần nhất, sau vô hạn hành động trong một hữu hạn thời gian vậy: nó là điều không thể!

Những kiến thức về giới hạn cũng cho ta phản biện tương tự: trong một dãy phần tử vô hạn, cho dù ta có thể đạt được kết quả cuối cùng (ở đây là t=2), cho dù thực tế vẫn không tồn tại phần tử cuối cùng.

Ngoài ra, bài toán Thomson đặt ra cũng cho trạng thái của đèn (trên lý thuyết) là một dãy phân kỳ, và như thế ta cũng không thể áp dụng tính chất của giới hạn hội tụ để tìm ra kết quả được. Năm 1996, Earman và Norton đã xây dựng nên một bài toán tương tự, nhưng với điều kiện đầy đủ, để chứng minh giả thuyết của Thomson là có lỗ hổng

Thí nghiệm được mô tả như trên hình: bắt đầu từ t=0, trái bóng ở trên cao, và cứ sau một khoảng thời gian nhất định bằng một nửa khoảng thời gian trước đó (cho khoảng thời gian đầu tiên là 1 giây), trái bóng lại nảy chạm thanh kim loại một lần, từ đó đóng mạch và khiến đèn sáng. Sau đó, nó lại nảy lên (tới một độ cao xem như bằng một nửa độ cao trước đó) và khiến cho đèn tắt.

Mặc dù giống như chiếc đèn Thomson, quả bóng sẽ khiến cho đèn thực hiện chuyển công tắc vô hạn lần, nhưng ở đây độ cao của quả bóng cũng sẽ tiến dần về 0 khi tiến dần về 2, do đó khi = 2, trái bóng sẽ nằm trên đĩa bạc. Như vậy đèn sẽ sáng. Ta cũng có thể bố trí thí nghiệm sao cho mỗi lần trái bóng chạm đĩa bạc thì đèn tắt, và khi đó thì ở = 2, ta lại có câu trả lời ngược lại.

Ta có thể thấy khác với chiếc đèn Thomson, ở đây yếu tố quyết định trạng thái của đèn nằm ở độ cao theo thời gian \left(1;0;\frac{1}{2};0;\frac{1}{4};0;...\right), và đó là một dãy số hội tụ có giới hạn là 0. Earman và Norton đã sử dụng lý thuyết này để một cách đầy đủ, phản biện lại nghịch lý của Thomson là không đầy đủ về điều kiện.

III – Nhìn từ góc độ vật lý

Rất nhiều người đã sử dụng tương quan khoa học để phản biện rằng, đến một lúc nào đó vận tốc nhấn công tắc sẽ nhanh hơn vận tốc ánh sáng, và từ đó cho rằng giả thuyết của Thomson là phi lý về khoa học. Cũng có người cho rằng, vì cơ chế tự lưu ảnh trong một khoảnh khắc xấp xỉ 0.1 giây của mắt người, ta sẽ luôn nhìn thấy chiếc đèn sáng chớp liên tục, từ đó dẫn đến hình ảnh đèn “nửa sáng” trong mắt người. (Đây cũng là cơ chế hoạt động của đèn huỳnh quang ta thường dùng hằng ngày). Một giả thuyết vui khác là chiếc đèn không thể chịu được tốc độ bật tắt phi thường ấy, và nó sẽ bị hỏng sau một khoảng thời gian – câu trả lời là đèn sẽ tắt.

Câu hỏi về một supertask khả thi về mặt vật lý đã được đặt ra, và cũng đã nhận được rất nhiều ý kiến khác nhau. Gustavo Romero tin rằng bất cứ nỗ lực thực hiện supertask nào cũng sẽ dẫn đến kết quả là sự hình thành “lỗ đen”, tức là bất khả thi về mặt khoa học. Tuy nhiên, thực tế đã cho thấy cuộc chạy đua của Achilles và con rùa của Zeno, hay ví dụ về quả bóng điều khiển công tắc đèn của Earman và Norton đã nói ở trên, đều có thể xây dựng được. Lần tới,  chúng ta sẽ gặp lại các bạn ở một kỳ khác cùng với nhiều supertask hấp dẫn hơn, và tiếp tục tìm hiểu tính khả thi cũng như phi lý của những “công việc siêu hạng” làm đau đầu các nhà toán học này.

Xin được tắt chiếc đèn Thomson này lại, dĩ nhiên, với nhận thức rằng nó sẽ sáng lên một lần nữa.














Nhận xét