Giải đề thi học kì 1 toán lớp 10 năm 2020-2021 trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong, TP. HCM

 

Đề bài

Câu 1(1 điểm). Cho $\left(P\right):y=a{x}^2+bx+c$. Tìm $a,b,c$ biết $\left(P\right)$ có trục đối xứng là đường thẳng $x=2$ và (P) đi qua điểm $A\left(0;1\right),B\left(1;-2\right)$.

Câu 2(1 điểm). Giải phương trình $\sqrt{x^2-3x+2}=x-1$

Câu 3(1 điểm). Cho hệ phương trình $\{\begin{array}{c}\left(m+1\right)x+6y=m^2+3m+5\\ x+my=m^3-3\end{array}$

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho hệ phương trình có nghiệm.

Câu 4(1 điểm). Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x+2y=5\\ x^2+y^2+3xy=11\end{array}$

Câu 5(1 điểm). Cho phương trình $\frac{2x^2-8x+m}{x^2-4x+3}=1$. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm.

Câu 6(3 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết $A\left(2;-1\right),B\left(1;2\right),C\left(4;3\right)$.

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.

b) Tìm giao điểm của đường thẳng AB và trục tung.

c) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình thang có $AD//BC$ và diện tích ABCD bằng 15.

Câu 7(1 điểm). Cho hình vuông ABCD cạnh a, gọi I là giao điểm của AC và BD, M là điểm thỏa mãn $M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2+2M{D}^2=12a^2$, tính MI.

Câu 8(1 điểm). Cho các số thực x,y thỏa mãn $x^2+y^2+xy=3$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $P=x^4+y^4+2\left(x^2+y^2\right)+12xy$.

Lời giải chi tiết

Câu 1(VD).

Phương pháp:

Hàm số $y=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$ nhận đường thẳng $x=-\frac{b}{2a}$ làm trục đối xứng.

(P) đi qua $A\left(x_0;y_0\right)$ khi và chỉ khi $y_0=a{x}_0+b{x}_0+c$.

Lời giải:

$\left(P\right)$ có trục đối xứng là đường thẳng $x=2$ nên $-\frac{b}{2a}=2\iff b=-4a$.(1)

$\left(P\right)$ đi qua $A\left(0;1\right),B\left(1;-2\right)$ nên ta có:

$\{\begin{array}{c}1=c\\ -2=a+b+c\end{array}\iff \{\begin{array}{c}c=1\\ a+b=-3\left(2\right)\end{array}$

Từ (1) và (2) ta có :

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}b=-4a\\ a+b=-3\end{array}\iff \{\begin{array}{c}b=-4a\\ -3a=-3\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}b=-4a\\ a=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}b=-4\\ a=1\end{array}\end{array}$

Vậy $a=1;b=-4;c=1$

Câu 2(VD).

Phương pháp:

$\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\iff \{\begin{array}{c}g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)=g^2\left(x\right)\end{array}$

Lời giải:

$\begin{array}{c}\sqrt{x^2-3x+2}=x-1\\ \iff \{\begin{array}{c}x\ge 1\\ x^2-3x+2=x^2-2x+1\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}x\ge 1\\ x=1\end{array}\iff x=1\end{array}$

Câu 3(VD)

Phương pháp:

Tìm điều kiện để hệ phương trình vô nghiệm rồi lấy phần bù.

Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi $\{\begin{array}{c}D=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ a^{\prime }& b^{\prime }\end{array}\right|=a{b}^{\prime }-a^{\prime }b=0\\ [\begin{array}{c}{D}_x=c{b}^{\prime }-c^{\prime }b\ne 0\\ D_y=a{c}^{\prime }-a^{\prime }c\ne 0\end{array}\end{array}$

Lời giải:

Xét $D=a{b}^{\prime }-a^{\prime }b=0$

$\iff [\begin{array}{c}m=2\\ m=-3\end{array}$

Với $m=2$,  thì $D_x=D_y=0$, hệ có vô số nghiệm.

Với $m=-3$,

$\begin{array}{c}{D}_x=-6\left(m^3-3\right)+\left(m^2+3m+5\right).m\\ =195\ne 0\end{array}$

$\Rightarrow m=-3$ thì hệ vô nghiệm.

Câu 4(VD)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp thế. Rút $x$ từ phương trình thứ nhất thế vào phương trình thứ hai.

Lời giải:

 $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}x+2y=5\\ x^2+y^2+3xy=11\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}x=5-2y\\ {\left(5-2y\right)}^2+y^2+3.\left(5-2y\right).y=11\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}x=5-2y\\ -y^2-5y+14=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}x=5-2y\\ [\begin{array}{c}y=2\\ y=-7\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{c}y=2;x=1\\ y=-7;x=19\end{array}\end{array}$

Câu 5.(VD)

Phương pháp:

Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Quy đồng 2 vế của phương trình. Cô lập m và sử dụng bảng biến thiên để biện luận nghiệm.

Lời giải:

ĐKXĐ: $x\ne 1;x\ne 3$

$\begin{array}{c}\frac{2x^2-8x+m}{x^2-4x+3}=1\\ \iff \frac{2x^2-8x+m-\left(x^2-4x+3\right)}{x^2-4x+3}=0\\ \iff \frac{x^2-4x-3+m}{x^2-4x+3}=0\\ \Rightarrow x^2-4x-3+m=0\left(1\right)\end{array}$

Để hàm số đã cho có nghiệm thì $\left(1\right)$ có nghiệm thỏa mãn điều kiện xác định, tức là:$\{\begin{array}{c}1-4-3+m\ne 0\\ 3^2-4.3-3+m\ne 0\end{array}\iff m\ne 6$

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^2-4x-3$ có bảng biến thiên:

 

Từ bảng biến thiên ta có đường thẳng $y=-m$ cắt đồ thị khi và chỉ khi $-m\ge -7\iff m\le 7$.

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi $m\le 7;m\ne 6$.

Câu 6.(VD)

Phương pháp:

a) Tìm $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}$. So sánh độ dài các vectơ và tính tích vô hướng của các vectơ.

b) Viết phương trình đường thẳng qua A và B: đi qua A và nhận $\overrightarrow{BC}$ làm vectơ pháp tuyến.

Điểm trên trục tung có dạng $x=0$

c) Lập phương trình đường thẳng AD. Tham số hóa điểm D. Tìm điều kiện của D để ABCD là hình bình hành.

Lời giải:

 

a) $\overrightarrow{AB}=\left(-1;3\right);\overrightarrow{AC}=\left(2;4\right);\overrightarrow{BC}=\left(3;1\right)$

Ta có: $AB=BC=\sqrt{10};\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0$.

Vậy $\Delta ABC$ vuông cân tại B.

b)

$\begin{array}{c}AB:3\left(x-2\right)+1\left(y+1\right)=0\\ \iff 3x+y-5=0\end{array}$

Chiều cao của hình thang ABCD là $d\left(A,BC\right)=\frac{\left|2-3.\left(-1\right)+5\right|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$

Diện tích ABCD là

$\begin{array}{c}S=\frac{1}{2}.\sqrt{10}.\left(BC+AD\right)\\ =\frac{1}{2}\sqrt{10}.\left(\sqrt{10}+\left(d+1\right)\sqrt{10}\right)\\ =5.\left(d+2\right)=15\Rightarrow d=1\end{array}$

Vậy $D\left(8;1\right)$

Câu 7.(VD)

Phương pháp:

Công thức đường trung tuyến tam giác MAC với I là trung điểm AC: $M{I}^2=\frac{M{A}^2+M{C}^2}{2}-\frac{A{C}^2}{4}$

Chứng minh $M{A}^2+M{C}^2=M{B}^2+M{D}^2$ và biểu diễn chúng theo a.

Lời giải:

Tam giác MAC với I là trung điểm AC có :$M{I}^2=\frac{M{A}^2+M{C}^2}{2}-\frac{A{C}^2}{4}$.

Tương tự $M{I}^2=\frac{M{B}^2+M{D}^2}{2}-\frac{B{D}^2}{4}$

Vì $AC=BD=a\sqrt{2}$ nên :$M{A}^2+M{C}^2=M{B}^2+M{D}^2$

$\begin{array}{c}\Rightarrow 3\left(M{A}^2+M{C}^2\right)=12a^2\\ \Rightarrow M{A}^2+M{C}^2=4a^2\\ \Rightarrow M{I}^2=2a^2-\frac{a^2}{2}=\frac{3a^2}{2}\\ \Rightarrow MI=\frac{a\sqrt{6}}{2}\end{array}$

Câu 8(VDC).

Phương pháp:

Tìm điều kiện của $xy$

Biểu diễn $P$ về hàm số bậc hai của $xy$. Tìm GTLN, GTNN của hàm số này trên tập xác định của xy.

Lời giải:

$\begin{array}{c}{x}^2+y^2+xy=3\\ \Rightarrow \{\begin{array}{c}{\left(x+y\right)}^2=3+xy\ge 0\Rightarrow xy\ge -3\\ {\left(x-y\right)}^2=3-3xy\ge 0\Rightarrow xy\le 1\end{array}\\ \Rightarrow -3\le xy\le 1\end{array}$

$\begin{array}{c}P=x^4+y^4+2\left(x^2+y^2\right)+12xy\\ ={\left(x^2+y^2\right)}^2-2x^2{y}^2+2\left(x^2+y^2\right)+12xy\\ ={\left(3-xy\right)}^2+2\left(3-xy\right)+12xy-2x^2{y}^2\\ =-x^2{y}^2+4xy+15\end{array}$

Đặt $xy=t$

$\Rightarrow P=P\left(t\right)=-t^2+4t+15$

Ta tìm GTLN, GTNN của hàm số $P\left(t\right)$ trên $\left[-3;1\right]$

Hàm số $P\left(t\right)$ đồng biến trên $\left(-\infty ;2\right)$ nên đồng biến trên $\left[-3;1\right]$. Do đó,

$\begin{array}{c}MaxP=P\left(1\right)=18\iff \{\begin{array}{c}xy=1\\ x=y\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=y=1\\ x=y=-1\end{array}\\ MinP=P\left(-3\right)=-6\iff \{\begin{array}{c}xy=-3\\ x=-y\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=-y=\sqrt{3}\\ x=-y=-\sqrt{3}\end{array}\end{array}$