1 UBND HUYỆN KINH MÔN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề này gồm 5 câu, 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức : A = 2x 2 – 3x + 5 với 1 2 x  b) Tìm x, biết: 2 2 x x x     1 5 Câu 2: (2,0 điểm) a) Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện: 3 3 3 a b c a b c a b c a b c         Tính giá trị biểu thức P = a b b c c a c a b      b) Cho biết (x -1).f(x) = (x +4).f(x +8) với mọi x. Chứng minh rằng f(x) có ít nhất bốn nghiệm. Câu 3: (2,0 điểm) a) T×m c¸c cÆp sè nguyªn (x, y) tháa m·n x - 3y +2xy = 4 b) Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i sè tù nhiªn n ®Ó n2 + 2018 lµ sè chÝnh ph­¬ng. Câu 4: (3,0 điểm) 1) Cho ABC có góc A nhỏ hơn 900 . Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ABM và ACN. a) Chứng minh rằng: MC = BN và BN  CM; b) Kẻ AH BC (H  BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. 2) Cho tam giác ABC vuông cân tại B. Điểm M nằm bên trong tam giác sao cho MA: MB: MC = 1: 2: 3. Tính số đo AMB ? Câu 5: (1,0 điểm) Cho 2016 số nguyên dương a1 , a2, a3 , ...., a2016 thỏa mãn : 1 2 3 2016 1 1 1 1 ..... 300 a a a a      Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 số trong 2016 số đã cho bằng nhau -------------- Hết ---------------- Họ và tên thí sinh:....................................... SBD:............................................... Giám thị 1:..................................................Giám thị 2:........................................ 2 UBND HUYỆN KINH MÔN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC : 2017 – 2018 MÔN : TOÁN - LỚP 7 (Hướng dẫn chấm gồm: 5 câu, 04 trang) Câu Đáp án Điểm 1 (2,0đ) a. (1,0đ). Vì 1 2 x  nên x = 1 2 hoặc x = - 1 2 * Với x = 1 2 thì A = 2.( 1 2 ) 2 – 3. 1 2 + 5 = 4 0,25 0,25 *Với x = - 1 2 thì A = 2.(- 1 2 ) 2 – 3.(- 1 2 ) + 5 = 7 Vậy A = 4 với x = 1 2 và A = 7 với x = - 1 2 . 0,25 0,25 b. (1,0đ). vì 2 x x    1 0 nên ta có: 2 2 x x x     1 5 => 2 2 x x x     1 5 0,25 => x   1 5 => x + 1 = 5 hoặc x + 1 = - 5 0,25 * Trường hợp 1: x + 1 = 5 => x = 4 0,25 * Trường hợp 2: x + 1 = - 5=> x = - 6 Vậy x = - 6 hoặc x = 4 0,25 2 (2,0đ) a. (1,0đ). Theo bài ra: 3 3 3 a b c a b c a b c a b c         (1) víi a, b, c kh¸c 0 ta cã => 3 3 3 2 2 2 a b c a b c a b c a b c            0,25 => 3 2 3 2 3 2 a b c a a b c b a b c c a b c            => a b c a b c a b c a b c         (2) 0,25 + NÕu a+ b + c  0 th× tõ (2) ta cã a = b = c Khi ®ã P = a b b c c a c a b      = 2 2 2 2 2 2 6 c a b c a b       0,25 + NÕu a + b + c = 0 th× a + b = - c; b + c = - a; c + a = - b Khi ®ã P = a b b c c a c a b      = 1 1 1 3 c a b c a b            0,25 b. (1,0đ). Vì đa thức (x - 1). f (x) = (x +4). f(x +8) đúng với mọi x nên *) Với x = 1 thì ta có: (1 - 1). f(1) = (1 + 4) . f(9) 0. f(1) = 5. f(9) f( 9) = 0 Suy ra x = 9 là 1 nghiệm của đa thức f(x) 0,25 3 *) Với x = - 4 thì ta có : -5. f(-4) = 0. f(4) f(-4) = 0 Suy ra x = - 4 là 1 nghiệm của đa thức f(x) 0,25 *) Với x = 9 thì ta có: 8. f(9) = 13. f(17) f(17) = 0 (vì f(9) = 0) Suy ra x = 17 là 1 nghiệm của đa thức f(x) 0,25 *) Với x = 17 thì ta có: 16. f(17) = 21. f(25) f(25) = 0 (vì f(17) = 0) Suy ra x = 25 là 1 nghiệm của đa thức f(x) Vậy đa thức f(x) có ít nhất 4 nghiệm là 9 ; - 4; 17; 25 0,25 3 (2,0đ) a. (1,0đ). Ta có: x - 3y + 2xy = 4 => 2x+ 4xy - 6y = 8 => 2x + 2x.2y - 3.2y - 3 = 8 - 3 => 2x(1+ 2y) - 3.(2y + 1) = 5 => (2x - 3)(1 + 2y) = 5 V× x, y  Z nªn 2x - 3 ; 1 + 2y Z nªn 2x - 3 ; 1 + 2y ¦(5) 0,5 Ta cã b¶ng sau 2x – 3 - 1 -5 1 5 1 + 2y - 5 -1 5 1 x 1 -1 2 4 y -3 -1 2 0 0,25 V× x, y nguyªn nªn các cặp số nguyên thỏa mãn là: (x; y)  (1; -3) ; ( -1; -1); (2; 2); (4; 0)  0,25 b. (1,0đ). Giả sử n2 + 2018 là số chính phương với n là số tự nhiên Khi đó ta có n2 + 2018 = m2 (m *  N ) 0,25 Từ đó suy ra : m2 - n2 = 2018  m2 – mn + mn - n2 = 2018  m(m - n) + n(m – n) = 2018 (m + n) (m – n) = 2018 Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1) 0,25 Mặt khác ta có: m + n + m – n = 2m  2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2) 0,25 Từ (1) và (2)  m + n và m – n là 2 số chẵn.  (m + n) (m – n)  4 nhưng 2018 không chia hết cho 4  Điều giả sử sai. Vậy không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2018 là số chính phương. 0,25 4 4 (3,0đ) D K I H E F B C A M N Vẽ hình đúng phần a 0,25 a) Xét AMC và  ABN, có: AM = AB (  AMB vuông cân) MAC BAN  (= 900 + BAC ) AC = AN ( ACN vuông cân) Suy ra AMC =  ABN (c.g.c) => MC = BN ( 2 cạnh t. ứng) 0,25 0,25 Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC. Vì AMC =  ABN (c.g.c)  ANI KCI   mà AIN KIC  (đối đỉnh)     0      KCI KIC ANI AIN 90 do đó: MC  BN 0,25 b) Kẻ ME  AH tại E, NF  AH tại F. Gọi D là giao điểm của MN và AH. - Ta có: BAH MAE  = 900 (vì MAB = 900 ) (1) Lại có MAE AME  = 900 (2) Từ (1) và (2)   AME BAH  Xét MAE và ABH, vuông tại E và H, có: AME BAH   (chứng minh trên) MA = AB(  AMB vuông cân) Suy ra MAE = ABH (cạnh huyền - góc nhọn)  ME = AH 0,25 - Chứng minh tương tự ta có AFN = CHA (cạnh huyền - góc nhọn)  FN = AH 0,25 Ta có ME// NF (cùng vuông góc với AH)=> EMD FND  (hai góc so le trong) Xét MED và NFD, vuông tại E và F, có: ME = NF (= AH) EMD FND    MED = NFD( g.c.g) MD = ND ( hai cạnh tương ứng) => D là trung điểm của MN Vậy AH đi qua trung điểm của MN. 0,25 0,25 5 Theo bài ra: MA: MB: MC = 1: 2: 3 1 2 3 MA MB MC    Đặt 1 2 3 MA MB MC   = a ( a > 0) => MA = a; MB = 2a; MC = 3a. Vẽ tam giác MBK vuông cân tại B ( K và A nằm cùng phía đối với BM). => BK= BM = 2a 0,25 Xét ABK và CBM có: AB = BC ( ABC vuông cân tại B) MBC ABK  ( cùng phụ với góc ABM) BM = BK Do đó    ABK CBM c g c  . .  suy ra CM = KA = 3a. 0,25 Xét tam giác vuông MBK vuông tại B ta có     2 2 2 2 2 2 MK MB MK a a a      2 2 8 Xét tam giác AMK có  2 2 2 2 2 2 2 AM MK a a a a AK       8 9 3 Theo định lí Py – ta – go đảo => tam giác KMA vuông tại M.  0   AMK 90 =>    0 0 0 AMB AMK KMB      90 45 135 . Vậy  0 AMB 135 0,25 0,25 5 (1,0đ) Giả sử trong 2016 số đã cho không có 2 số nào bằng nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a1 < a2 < a3 <... < a 2016. Vì a1 , a2, a3 , ...., a2016 đều là các số nguyên dương nên: 1 2 3 2016 a a a a     1; 2; 3;....., 2016 0,25 Suy ra: 1 2 3 2016 1 1 1 1 1 1 1 ..... 1 ... a a a a 2 3 2016         1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 2 3 4 5 6 7 1024 1025 1026 2016                                0,25 2 3 10 2 3 10 1 1 1 1 1 1 .2 .4 .8 .... .512 .993 2 4 8 512 1024 1 1 1 1 1 .2 .2 .2 .... .2 11 300 2 2 2 2                0,25 Mâu thuẫn với giả thiết. Do đó điều giả sử là sai. Vậy trong 2016 số đã cho phải có ít nhất 2 số bằng nhau. 0,25 Ghi chú: Nếu học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. ------ Hết ------