UBND THỊ XÃ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2019-2020 MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm) Tìm x biết: a) 2 1 1 x 0 3 16          b) 3 1 x 2017 4 2    Câu 2 (2,0 điểm) a) Cho a b c b c c a a b      . Tính : a b b c c a P c a b       . b) Hãy chia số 26 thành ba phần tỉ lệ nghịch với các số 2; 3; 4. Câu 3 (2,0 điểm) a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 Xác định hệ số a, b biết đa thức f(x) nhận x = -1 và x = 2 làm nghiệm. b) Cho đa thức 2 2 A x xy y y     10 2017 2 và 2 2 B x xy y y      5 8 2017 3 2018 . Tìm đa thức C = A - B. Tính giá trị của đa thức C tìm được ở trên khi 2x + y = 1. Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. a) Chứng minh AM  BC và MA = MC. b) Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc với MD tại M cắt AC tại E. Chứng minh: MD = ME. c) Chứng minh: MD + ME  AD + AE. Câu 5 (1,0 điểm) Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn a b c d     25 . Tìm giá trị lớn nhất của c d M b a   . –––––––– Hết –––––––– Họ tên thí sinh:……………………………………Số báo danh:……………………. Chữ kí giám thị 1: …………………… Chữ kí giám thị 2:………………………….. UBND THỊ XÃ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2019-2020 MÔN: TOÁN - LỚP 7 (Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm 03 trang) Câu Ý Nội dung Điểm 1 a 2 1 1 x 3 16          1 1 1 x x 3 4 12 1 1 7 x x 3 4 12                     0,5 0,5 b 3 1 3 1 4035 x 2017 x 2017 4 2 4 2 2         0,25 3 4035 8067 x x 4 2 4 3 4035 8073 x x 4 2 4                 0,25 0,5 2 a Ta có:           a b c a b c b c c a a b 2(a b c) 0,25 + Nếu a + b + c = 0 => a + b = -c; b + c = -a; a + c = -b Khi đó P ( 1) ( 1) ( 1) 3         0,25 + Nếu a b c    0 thì ta có b + c = 2a; c + a = 2b; a + b = 2c Khi đó           a b b c c a 2c 2a 2b P 6 c a b c a b 0,25 Vậy : P = - 3 hoặc P = 6. 0,25 b Giả sử số 26 được chia thành ba phần x, y, z. Theo bài ra ta có : 2x = 3y = 4z x y z 6 4 3    0,25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau x y z x y z 6 4 3 6 4 3        0,25 26 2 13    x = 12, y = 8, z = 6. 0,25 0,25 3 a Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = -1 làm nghiệm.  f(-1) = 0 a.(-1)2 +b.(-1) -2 =0 a - b -2 = 0 a = b + 2. 0,25 Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = 2 làm nghiệm. 0,25  f(2)=0 a.(2)2 +b.(2) -2 =0 4a + 2b -2 = 0 4(b +2) + 2b - 2 = 0 4b +8 + 2b - 2 = 0  6b +6 = 0 0,25 b = -1 a = 1. Vậy a = 1; b = -1 0,25 b C = A – B     2 2 2 2          x xy y y x xy y y 10 2017 2 5 8 2017 3 2018 0,25          2 2 2 2 x 10xy 2017y 2y 5x 8xy 2017y 3y 2018      2 4x 2xy y 2018           2 C 4x 2xy y 2018 2x(2x y) y 2018 Thay 2x + y = 1 vào ta được C    2x y 2018     (2x y) 2018 Thay 2x + y = 1 vào ta được C 1 2018 2017     0,25 0,25 0,25 4 F 5 4 3 2 1 H E D B M C A 0,25 a Xét  ABM và  ACM có: AM chung; AB = AC (  ABC vuông cân); MB = MC (gt)   ABM =  ACM (c.c.c) 0,25  AMB AMC . Mà AMB AMC 180 AMB AMC 90       0 0    AM  BC 0,25 -  AMC có AMC 90 ; ACM 45   0 0  ( ABC vuông cân tại A)   AMC vuông cân tại M  MA = MC (1) 0,5 b Ta có:   0 M M 90 2 3   (MD  ME) và   0 M M 90 3 4   (AM  BC)    M M 2 4  (2) 0,25 - Do  ABM =  ACM    BAC  0 MAB MAC 45 2    0,25 Xét  AMD và  CME có: AM = CM (theo (1));   M M 2 4  (theo (2));   0 MAD ACM 45     AMD =  CME (g.c.g)  MD = ME 0,5 c Trên tia đối của tia MD lấy F sao cho MF = MD. Từ F kẻ FH  AB tại H. 0,25 - Chứng minh  MDB =  MFC (c.g.c) từ đó suy ra FC // AB và FC  AC. - Chứng minh  HAC =  CFH từ đó suy ra HF = AC 0,25 Do  AMD =  CME  AD = CE  AD + AE = AC. Do MD = ME nên MD + ME = 2MD = DF Mặt khác DF  HF  DF  AC hay MD + ME  AD + AE - Dấu “=” khi MD  AB. 0,25 5 Vì a + b = c + d = 25 nên 1 , , , 24   a b c d Nếu cả hai phân số c b và d a đều lớn hơn 1 thì c + d > a + b. Trái giả thiết. Vậy có một phân số không vượt quá 1. Không mất tính tổng quát giả sử 1 c b  0,25 + Nếu d  23 thì 23 d a  (vì a 1) 1 23 24 c d M b a       (1) 0,25 + Nếu d  24 thì c = 1 1 24 M b a    - Nếu a > 1 thì 24 1 13 2     M (2) - Nếu a = 1 thì b = 24 1 24 577 24 1 24     M (3) 0,25 Từ (1), (2) và (3) suy ra 577 ( ) 24 Max M  Dấu “=” xảy ra khi a = c = 1; b = d = 24 hoặc a = c = 24; b = d = 1. 0,25 Chú ý : Nếu HS làm cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa.