Đề cương ôn thi học kì I môn toán lớp 10 (bài tập)

 

PHẦN 1

Mệnh đề- Tập hợp

Bài 1: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) 2 là số chẵn

b) 2 là số nguyên tố

c) 2 là số chính phương

Giải:

Mệnh đề đúng là a và b

Mệnh đề sai là c

Bài  2: Tìm $x\in D$ để $P\left(x\right)$ đúng trong các trường hợp sau:

a) $P\left(x\right)$: “$2x+3\le 0$”

b) $P\left(x\right)$: “${\left(2x+3\right)}^2\le 0$”

Giải:

a) $2x+3\le 0\iff x\le -\frac{3}{2}$$\Rightarrow D=\left(-\infty ;-\frac{3}{2}\right]$

b)

${\left(2x+3\right)}^2\le 0\iff 2x+3=0\iff x=-\frac{3}{2}$$\Rightarrow D=\left\{-\frac{3}{2}\right\}$

Bài 3: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí:

a) Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác đó là hình thoi có một góc vuông.

b) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3.

c) Nếu số tự nhiên $n$ chia hết cho 2 thì $n^2$ chia hết cho 4.

Giải:

a) Tứ giác ABCD là hình vuông là điều kiện cần và đủ để ABCD là hình thoi có một góc vuông.

b) Số chia hết cho 6 là điều kiện cần và đủ để số đó chia hết cho 2 và cho 3.

c) $n$ chia hết cho 2 là điều kiện đủ để $n^2$ chia hết cho 4.

$n^2$ chia hết cho 4 là điều kiện cần để $n$ chia hết cho 2.

Bài 4: Chứng minh định lí “ Nếu n là số tự nhiên chẵn thì $n^2$ chia hết cho 4”

Giải:

Vì n chẵn nên $n=k(k\in N)$. Khi đó $n^2=4k^2$ chia hết cho 4 nên $n^2$ chia hết cho 4.

Bài 5: Chứng minh đinh lí “ Với mọi số tự nhiên n nếu 3n+2 là số lẻ thì n là số lẻ”

Giải:

Giả sử n là số chẵn khi đó $n=2k(k\in N)$

$\Rightarrow 3n+2=3.2k+2=2\left(3k+1\right)$ chia hết cho 2 nên 3n+2 là số chẵn trái với dữ kiện bài cho. Vậy n lẻ.

Bài 6. Tìm tập hợp các nghiệm thực của phương trình

$x\left(x^2-4\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right)=0$

Giải:

Cách 1: $A=\left\{-3;-2;-1;0;2\right\}$

Cách 2: $A=\left\{x\in R|x\left(x^2-4\right)\left(x+1\right)\left(x+3\right)=0\right\}$

Bài 7. Tìm tất cả các tập hợp con của tập hợp sau $A=\left\{0;3;5\right\}$

Giải:

Tập con của A là: $\varnothing ;\left\{0\right\};\left\{3\right\};\left\{5\right\};\left\{0;3\right\};\left\{3;5\right\};\left\{0;5\right\};A$

Bài 8:  Hai tập hợp $A=\left\{x\in R|-2\le x\le 2\right\}$ và $B=\left\{x\in R|x^2-x-6<0\right\}$ có bằng nhau không?

Giải:

Ta có:$B=\left\{x\in R|-2<x<3\right\}$

Vì $-2\in A$ mà $-2\notin B$ nên $A\subset ̸B$$\Rightarrow A\ne B$

Bài 9: Cho hai tập hợp $A=\left\{x\in R|x\left(x^2-x-6\right)=0\right\}$ và $B=\left\{x\in R|x^4-13x^2+36=0\right\}$. Tìm $A\cap B;A\cup B;A\setminus B;B\setminus A$

Giải:

$A=\left\{-2;0;3\right\}$;$B=\left\{-3;-2;2;3\right\}$

$A\cap B=\left\{-2;3\right\}$;$A\cup B=\left\{-3;-2;0;2;3\right\}$;$A\setminus B=\left\{0\right\}$;$B\setminus A=\left\{2;-3\right\}$.

PHẦN 2

Hàm số bậc nhất và bậc hai

Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số

a) $y=\frac{x-2}{\sqrt{x+6}}$                           $D=\left(-6;+\infty \right)$

b) $y=\frac{3}{x-1}$                                 $D=R\setminus \left\{1\right\}$

c) $y=\sqrt{x-5}+x^2+1$                $D=\left[5;+\infty \right)$

d) $y=\frac{\sqrt{x+2}}{x^2+4x+3}$                      $D=\left[-2;-1\right)\cup \left(-1;+\infty \right)$

Bài 2: Xét tính chẵn- lẻ hàm số $y=\left|x+2\right|$.

Giải:

TXĐ: $D=R$

Ta có $-x\in D\forall x\in D$ và

$f\left(-x\right)=\left|\left(-x\right)+2\right|=\left|-x+2\right|\ne \pm \left|x+2\right|$$\Rightarrow$ Hàm số không chẵn không lẻ.

Bài 3. Cho hàm số $y=x+2$.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Tịnh tiến đồ thị trên sang phải 3 đơn vị rồi xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị của hàm số nào?

c) Vẽ đồ thị hàm số $y=\left|x+2\right|$.

Giải:

a) a=1 nên hàm số đồng biến trên $R$. Đồ thị của hàm số là một đường thẳng qua 2 điểm $A\left(0;2\right),B\left(-2;0\right)$.

 

b) Tịnh tiến đồ thị sang phải 3 đơn vị ta được đồ thị của hàm số $y=\left(x-3\right)+2=x-1$.

Tịnh tiến đồ thị này xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị của hàm số $y=x-1-1=x-2$.

c)

Ta có $y=\left|x+2\right|=\{\begin{array}{c}x+2khix\ge -2\\ -x-2khix<-2\end{array}$

Vẽ đồ thị hàm số $y=\{\begin{array}{c}x+2khix\ge -2\\ -x-2khix<-2\end{array}$ ta được:

 

Bài 4. Tìm m để hàm số $y=\left(m-2\right)x+5$:

a) Có đồ thị vuông góc với đường thẳng $x+2y+1=0$

b) Có đồ thị cắt đường thẳng $y=x+3$ tại điểm có tung độ bằng $2$.

c) Đồng biến trên $R$ với m nguyên thuộc đoạn $\left[1;5\right]$.

d) Đồ thị hàm số cắt 2 trục Ox, Oy tại M, N sao cho tam giác OMN cân.

e) $y>0\forall x\in \left[0;2\right]$

Đáp án

a) $x+2y+1=0\iff y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

Đồ thị hàm số $y=\left(m-2\right)x+5$ vuông góc với đường thẳng $y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

$\iff \left(m-1\right).\left(-\frac{1}{2}\right)=-1\iff m-1=2\iff m=3$

b)

Thay $y=2$ vào phương trình đường thẳng $y=x+3$ ta được $x=-1$. Đường thẳng $y=\left(m-2\right)x+5$ cắt đường thẳng $y=x+3$ tại điểm có tung độ bằng 2 khi và chỉ khi $A\left(-1;2\right)$ thuộc đường thẳng $y=\left(m-2\right)x+5$$\iff \left(m-2\right)\left(-1\right)+5=2\iff m=5$.

c) Hàm số đồng biến trên $R$ khi và chỉ khi $m-2>0\iff m>2$.

Do m nguyên thuộc đoạn $\left[1;5\right]$ nên $m\in \left\{2;3;4;5\right\}$.

d) Đồ thị cắt 2 trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại M, N. Nên $M\left(\frac{5}{2-m};0\right);N\left(0;5\right)$.

Tam giác OMN cân

 $\begin{array}{c}\iff OM=ON\iff \frac{5}{\left|m-2\right|}=5\\ \iff \left|m-2\right|=1\\ \iff [\begin{array}{c}m-2=1\\ m-2=-1\end{array}\iff [\begin{array}{c}m=3\\ m=1\end{array}\end{array}$

e) $y>0\forall x\in \left[0;2\right]\iff \left(m-2\right)x+5>0$$\forall x\in \left[0;2\right]$(1)

TH1: $m-2\ge 0\iff m\ge 2$

$\Rightarrow \left(m-2\right)x+5\ge 0+5=5>0$$\forall x\in \left[0;2\right]$

TH2: $m-2<0\iff m<2$

$\begin{array}{c}\left(1\right)\iff x<-\frac{5}{m-2}\forall x\in \left[0;2\right]\\ \iff 2<-\frac{5}{m-2}\iff \frac{2m+1}{m-2}<0\\ \iff -\frac{1}{2}<m<2\end{array}$

Vậy $m>-\frac{1}{2}$ thì $y>0$

Bài 5. Cho của hàm số $y=x^2+2x-2$ có đồ thị là một parabol (P) .

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Tìm giao điểm của (P) và đường thẳng d: $y=x+4$.

c) Tìm m để đường thẳng $y=\frac{m}{2}$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm.

Giải:

a) (P) có đỉnh $I\left(-1;-3\right)$, trục đối xứng$x=-1$.

Do $a=1>0$ nên hàm số đồng biến trên $\left(-1;+\infty \right)$ và nghịch biến trên $\left(-\infty ;-1\right)$.

Bảng biến thiên:

 

Đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left(1;1\right);B\left(0;-2\right);C\left(2;6\right)$.

 

b) Hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng $y=x+3$ là nghiệm của phương trình $x^2+2x-2=x+4$

$\iff x^2+x-6=0$$\iff [\begin{array}{c}x=-3\\ x=2\end{array}$

Giao điểm của (P) và đường thẳng $y=x+3$ là $M\left(-3;-1\right);C\left(2;6\right)$.

c) Đường thẳng $y=\frac{m}{2}$ là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.

 

Từ đồ thị ta thấy (P) giao với đường thẳng này tại 2 điểm có hoành độ âm khi và chỉ khi 2 điểm đó nằm bên trái trục Oy. Hay $-3<\frac{m}{2}<-2\iff -6<m<-4$.

Bài 6

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=x^2-6x+5\left(P\right)$.

b) Từ đồ thị (P) suy ra đồ thị $\left(P_1\right),\left(P_2\right)$:

$\left(P_1\right):y=\left|x^2-6x+5\right|$

$\left(P_2\right):y=x^2-6\left|x\right|+5$

c) Từ đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

          1)$\left|x^2-6x+5\right|=m+1$           2) $x^2-6\left|x\right|+5=m-1$

d) Tìm m để phương trình $x^2-6x+m-2=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $1<x_1<x_2<5$

Giải

a) Đồ thị hàm số $y=x^2-6x+5$ có đỉnh $I\left(3;-4\right)$, nhận trục x=3 làm trục đối xứng và đi qua các điểm $A\left(0;5\right);B\left(5;0\right);C\left(1;0\right)$.

 

b) Từ đồ thị (P) ta lấy đối xứng qua trục hoành rồi bỏ đi phần đồ thị có tung độ âm thì ta được đồ thị $\left(P_1\right)$.

 

Từ đồ thị (P) ta bỏ đi phần đồ thị có hoành độ âm rồi lấy đối xứng qua trục tung ta được đồ thị của $\left(P_2\right)$.

 

 

c)

          1) Hoành độ giao điểm của $\left(P_1\right)$ và đường thẳng $y=m+1$ là nghiệm của phương trình $\left|x^2-6x+5\right|=m+1$ nên số nghiệm của phương trình $\left|x^2-6x+5\right|=m+1$  bằng số giao điểm của đường thẳng $y=m+1$ và $\left(P_1\right)$.

          2) Hoành độ giao điểm của $\left(P_2\right)$ và đường thẳng $y=m-1$ là nghiệm của phương trình $x^2-6\left|x\right|+5=m-1$ nên số nghiệm của phương trình $x^2-6\left|x\right|+5=m-1$  bằng số giao điểm của đường thẳng $y=m-1$ và $\left(P_2\right)$

d) Ta có $x^2-6x+m-2=0$$\iff x^2-6x+5=7-m$.

Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị (P) và đường thẳng $y=7-m$. Ta có:

Với $x=1\Rightarrow y=0$

Với