Phßng gi¸o dôc & ®µo t¹o
HuyÖn nga s¬n
(§Ò thi gåm cã 01 trang)
®Ò thi häc sinh giái líp 6,7,8 thcs cÊp huyÖn
NĂM HỌC: 2016 - 2017
M«n thi: To¸n 8
Thêi gian lµm bµi: 150 phót
Ngµy thi: 04/04/2017
Câu 1: (4 điểm).
Cho biểu thức M =
2
2 3
2 3 2
1 1 2 4 1 4
:
3 1 1 1 4
a a a a a
a a a a a
a) Rút gọn M.
b) Tìm a để M > 0.
c) Tìm giá trị của a để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất.
Câu 2: ( 5 điểm).
1) Giải các phương trình:
a) 2 4 6 8
98 96 94 92
x x x x
.
b) x6
- 7x3
- 8 = 0.
2) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:
2 2
1 x x 2 2(x m) 2
x m x m m x
.
3) Tìm a, b sao cho
3 2 f x ax bx 10x 4 chia hết cho đa thức
2 g x x x 2 .
Câu 3: ( 4 điểm).
1) Cho: x + y + z = 1 và x3
+ y3
+ z3
= 1. Tính A = x2015 + y2015 + z2015
2) Một người dự định đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h, nhưng sau khi đi
được 1 giờ người ấy nghỉ hết 15 phút, do đó phải tăng vận tốc thêm 10km/h để đến B đúng
giờ đã định. Tính quãng đường AB?
Câu 4: (5 điểm).
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O, M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M
khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân.
b) Chứng minh: ME // BN.
c) Từ C kẻ CH BN ( HBN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Câu 5: (2 điểm).
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 2016. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
P=
2 3 3 1 3 2 3 3 3 2 1
2015 2016 2017
a b c a b c a b c
a b c
.
.................................... Hết ......................................
Họ và tên thí sinh: ........................................................ Số báo danh: ....................
§Ò chÝnh thøc
2
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO NGA SƠN
HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học 2016 - 2017
Môn: Toán
Câu Nội dung Điểm
1
4.0đ
a (2đ)
Điều kiện: a a 0; 1
Ta có: M =
2
2 3
2 3 2
1 1 2 4 1 4
:
3 1 1 1 4
a a a a a
a a a a a
=
2
2 2
2 2 2
1 1 2 4 1 4
.
1 1 1 1 4
a a a a
a a a a a a a a
=
3 2 2
2 2
1 1 2 4 1 4
.
1 1 4
a a a a a a
a a a a
=
3 2 2 2
2 2
3 3 1 1 2 4 1 4
.
1 1 4
a a a a a a a a
a a a a
=
3
3 2
1 4
.
1 4
a a
a a
= 2
4
4
a
a
Vậy M = 2
4
4
a
a
với a a 0; 1
b) (1đ)
M > 0 khi 4a > 0suy ra a > 0
kết hợp với ĐKXĐ
Vậy M > 0 khi a > 0 và a 1
c) (1đ)
Ta có M = 2
4
4
a
a
= 2 2 2
2 2
4 4 4 2
1
4 4
a a a a
a a
Vì 2
2
2
0
4
a
a
với mọi a nên 2
2
2
1 1
4
a
a
với mọi a
Dấu “=” xảy ra khi 2
2
2
0 2
4
a
a
a
Vậy MaxM = 1 khi a = 2.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2
5,0đ
a) (1đ)
Ta có
92
8
94
6
96
4
98
2
x x x x
(
98
x 2 +1) + (
96
x 4
+ 1) = (
94
x 6
+ 1) + (
92
x 8
+ 1)
( x + 100 )(
98
1
+
96
1
-
94
1
-
92
1
) = 0
0,5
3
Vì :
98
1
+
96
1
-
94
1
-
92
1
0
Do đó: x + 100 = 0 x = -100
Vậy phương trình có nghiệm: x = -100
b) (1đ)
Ta có x6
– 7x3
– 8 = 0 (x3
+ 1)(x3
– 8) = 0
(x + 1)(x2
– x + 1)(x – 2)(x2
+ 2x + 4) = 0 (*)
Do x2
– x + 1 = (x – 1
2
)
2
+ 3
4
> 0 và x2
+ 2x + 4 = (x + 1)2
+ 3 > 0 với
mọi x, nên (*) (x + 1)(x – 2) = 0 x {- 1; 2}
2) (2đ)
Tìm m để phương trình sau vô nghiệm.
2 2
1 2 2( ) 2 x x x m
x m x m m x
(1)
ĐKXĐ: x+ m 0 và x- m 0 x m
(1 )( ) ( 2)( ) 2 2( )
(2 1) 2(*)
x x m x x m x m
m x m
+ Nếu 2m -1= 0 1
2
m ta có (*) 0x = 3
2
(vô nghiệm)
+ Nếu m 1
2
ta có (*) 2
2 1
m
x
m
- Xét x = m
2
2
2 2
2
2 2
2 1
1 3 2 2 2 0 1 0 0
2 4
m
m m m m
m
m m m m m
(Không xảy ra vì vế trái luôn dương)
Xét x= - m
2 2 2 2 2 1 1
2 1
m
m m m m m m
m
Vậy phương trình vô nghiệm khi 1
2
m hoặc m = 1
3)(1đ)
Ta có :
2 g x x x 2= x 1 x 2
Vì
3 2 f x ax bx 10x 4 chia hết cho đa thức
2 g x x x 2
Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)
3 2 ax bx 10x 4= x+2 . x-1 .q x
Với x=1 a+b+6=0 b=-a-6 1
Với x=-2 2a-b+6=0 2
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
4
Thay (1) vào (2) . Ta có : a=-4 và b=-2 0.25đ
3
(4,0đ)
1)(2đ)
Từ x + y + z = 1 (x + y + z)3
= 1
Mà: x3
+ y3
+ z3
= 1
(x + y + z)3
- x3
- y3
- z3
= 0
2
3 3 3 3
2 2 2
x y z z x y 0
x y z z x y z x y z z z x y x xy y
2 2 2 2 2 2 2 x y x y z y yz yz z z x xy y 2x 2 2xz+xz 0
2 3z 3x 3 3xz 0
3 0
0
0
0
x y y yz
x y y z x z
x y x y
y z y z
x z x z
* Nếu 2015 2015 2015 x y z A x y z 1 1
* Nếu 2015 2015 2015 y z x A x y z 1 1
* Nếu 2015 2015 2015 x z y A x y z 1 1
2) (2điểm).
Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB. ĐK x > 0.
Thời gian dự định đi hết quãng đường:
30
x
(giờ)
Quãng đường đi được sau 1 giờ: 30 (km)
Quãng đường còn lại : (x-30) (km)
Thời gian đi quãng đường còn lại : 30
40
x
(giờ)
Lập được phương trình : 1 30 1
30 4 40
x x
4 30.5 3( 30) x x
x 60 (thỏa mã đk)
Vậy quãng đường AB là 60km
0,25
0,25
0,25
0.25đ
0,5
0,5
5
4(5đ)
a) (2đ)
Xét ∆OEB và ∆OMC
Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC
Và 0
1 1 B C 45
BE = CM ( gt )
Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c)
OE = OM và O O 1 3
Lại có O O 2 3 0 BOC 90 vì tứ giác ABCD là hình vuông O O 2 1 0 EOM 90 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân tại O
b)(1.5đ)
Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông AB = CD và AB // CD
+ AB // CD AB // CN
AM BM
MN MC
( Theo ĐL Ta- lét) (*)
Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*)
Ta có : AM AE
MN EB
ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét)
c)(1.5đ)
Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
Từ ME // BN OME MH B '
Mà 0 OME 45 vì ∆OEM vuông cân tại O 0
1 MH B C ' 45
∆OMC ∆BMH’ (g.g)
,
OM MC
BM MH
, kết hợp OMB CMH '( hai góc đối đỉnh)
∆OMB ∆CMH’ (c.g.c) 0 OBM MH C' 45
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0.5
0,25
0,5
H'
1
1
3
2
1
E
N
H
M
O
D
C
A B
6
Vậy 0 BH C BH M MH C ' ' ' 90 CH BN '
Mà CH BN ( H BN) H H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng
( đpcm)
0,5
0,25
5
(2,0đ)
Ta có
P=
2 3 3 1 3 2 3 3 3 2 1
2015 2016 2017
a b c a b c a b c
a b c
=
4033 4032 4031
2015 2016 2017
b c c a a b
a b c
Đặt 2015 + a = x;
2016 + b = y;
2017 + c = z ; (x,y,z > 0)
P =
4033 4032 4031
2015 2016 2017
b c c a a b
a b c
2 . 2 . 2 . 6 ( )
y z z x x y y x x z y z P
x y z x y z x z y
y x z x y z Co si
x y x z z y
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z suy ra a = 673, b = 672, c = 671
Vậy giá tị nhỏ nhất của biểu thức p là 6 khi a = 673, b = 672, c = 671
1
0,5
0,5
0,5
Chú ý:
1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa.
2. Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình.
0 Nhận xét