ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8 NĂM HỌC 2020-2021 TRƯỜNG THCS ĐÔNG KINH




































































1 PHÒNG GD VÀ ĐT THÀNH PHỐ TRƯỜNG THCS ĐÔNG KINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm có 01 trang, 04 bài) Bài 1: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 - 26x + 24 c) x2 + 6x + 5 b) 1 2 3 4 3 8 1 3 2 x  x  x  d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 Bài 2: (6 điểm) a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: (6 x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) 7 3 4 x        b) Tính giá trị biểu thức P = x y x y   . Biết x 2 – 2 y 2 = x y (x + y ≠ 0, y ≠ 0). c) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức  x x x x      2 4 6 8 2015     cho đa thức 2 x x   10 21 . d) Tính tổng các hệ số trong khai triển (1−2x)2021 e) Chứng minh rằng: 2 A n n n     4 3 8,  là số tự nhiên lẻ f) Tìm hế số a để: 5 4 ax x x    5 9 1  Bài 3 : (7 điểm) Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S. a) Chứng minh  AQR và  APS là các tam giác cân. b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. c) Chứng minh P là trực tâm tam giác SQR. d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC. Bài 4 : (3 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = 1. Chứng minh a3 + b3+ ab  2 1 --------------- Hết ------------------ ĐỀ CHÍNH THỨC 2 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS ĐÔNG KINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8 NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN (HDC gồm có 03 trang 04 bài) HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI NỘI DUNG THANG ĐIỂM Bài 1 4 điểm a) 5x2 - 26x + 24 = 5x2 - 6x - 20x + 24 = x(5x - 6) - 4(5x - 6) = (5x - 6)(x - 4) 1 điểm b) 1 2 3 4 3 8 1 3 2 x  x  x  = 2 3 3 2 .1 1 2 1 .1 3. 2 1 3. 2 1                      x x x = 3 1 2 1       x  1 điểm c) x2 + 6x + 5 = x2 + x + 5x + 5 = x(x + 1) + 5(x + 1) =x 1x  5 1 điểm d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 – x3 – x2 – x + 2015x2 + 2015x +2015 = x2 (x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + 2015(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2015) 1 điểm Bài 2 6 điểm a) ( 6 x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) 7 3 4 x        = 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + 7x – 3x + 7 4 = 77 4  1 điểm b) x2 – 2y2 = xy  x2 – xy – 2y2 = 0  (x + y)(x – 2y) = 0 Vì x + y ≠ 0 nên x – 2y = 0  x = 2y .Khi đó A = 2 1 2 3 3 y y y y y y     1 điểm c)         2 2 P x x x x x x x x x ( ) 2 4 6 8 2015 10 16 10 24 2015             Đặt 2 t x x t t        10 21 ( 3; 7) , biểu thức P(x) được viết lại:    2 P x t t t t ( ) 5 3 2015 2 2000        Do đó khi chia 2 t t   2 2000 cho t ta có số dư là 2000 1 điểm d) Gọi f(x)= (1−2x)2020 => f(1)= (1−2.1)2020= (-1)2020 = 1 Vậy tổng các hệ số trong khai triển là 1 1 điểm e) A n n     1 3   , Vì n là số lẻ, Đặt n k k N A k k        2 1, 2 2 2 4 8      1 điểm f) Theo định lý Bơ- Zu ta có : Dư của   5 4 f x ax x    5 9 , khi chia cho x - 1 là f a a 1 5 9 4       Để có phép chia hết thì a a     4 0 4 1 điểm HDC CHÍNH THỨC 3 Bài 5 7điểm Vẽ đúng hình a)  ADQ =  ABR vì chúng là hai tam giác vuông (2 góc có cạnh t.ư vuông góc) và DA = BD (cạnh hình vuông). Suy ra AQ=AR, nên  AQR là tam giác vuông cân. Chứng minh tương tự ta có:  ABP =  ADS 0, 5 điểm 2 điểm b) AM và AN là đường trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và APS nên AN SP và AM RQ. Mặt khác : P PAM  = 450 nên góc MAN vuông. Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật. 1,5 điểm c) Theo giả thiết: QA RS, RC SQ nên QA và RC là hai đờng cao của  SQR. Vậy P là trực tâm của  SQR. 1,5 điểm d) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung tuyến nên AM = 2 1 QR. MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C. Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trung trực của AC. 1,5 điểm Bài 6 3 điểm a) A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 = y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015 = y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015 = (y + 2x - 1)2 + (3x - 2)2 + 2010 Chứng tỏ A  2010, dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi (x = 3 2 ; y = 3 1  ) Vậy min A = 2010 khi (x = 3 2 ; y = 3 1  ) 1,5 điểm 4 b) Ta có a3+ b3 + ab 2 1 (1)  a 3+b3+ab - 2 1  0  (a+b)(a2+ b2 -ab) + ab2 1  0 a 2+b2 - 2 1  0 (vì a + b =1)  2a2+2b2 -1  0  2a2+2(1-a)2 -1  0 (vì b = 1- a)  2a2+2 - 4a + 2a2 - 1 0  4(a2 - a + 4 1 )  0          2 2 1 4 a 0 a (2) ... đpcm. 1,5 điểm

Nhận xét