HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 : 0905.884.951 – 0929.484.951 GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ HOÀI NHƠN Đề chính thức ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học: 2020 – 2021 Môn: TOÁN – Ngày thi: 04/12/2020 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1. (4.5 điểm) Rút gọn các biểu thức: a) A     5 3 29 12 5 . b) 3 3 B     70 4901 70 4901 . c) 1 1 1 1 ... 2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100 C          . Bài 2. (4.5 điểm) a) Cho * a b ,   . Tính giá trị của biểu thức: 2 2 a b A ab   , biết A có giá trị nguyên. b) Cho ba số nguyên a b c , , và M a b b c c a abc          . Chứng minh rằng: " Nếu a b c    4 thì M  4 ". c) Tìm số abcd biết abcd  3 và abc bda   650 . Bài 3. (4.0 điểm) a) Giải phương trình: 2 4 9 1 3 6 x y x xy     . b) Cho hai số dương x y , thỏa mãn: x y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 1 A x y x y                         . Bài 4. (3.0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Gọi I là một điểm trên nửa đường tròn tâm O (I khác A và B ). Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn tâm I , tiếp xúc với đường tròn tâm I lần lượt tại C và D . a) Chứng minh C I D , , thẳng hàng. b) Chứng minh 2 . 4 CD AC BD  . Bài 5. (4.0 điểm) a) Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD ( D thuộc BC ) sao cho BD a  và CD b  (với a b  ). Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt tia BC tại M . Tính MA theo a và b . b) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB R  2 và M là một điểm thuộc nửa đường tròn (khác A và B ). Tiếp tuyến của O tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của O lần lượt tại các điểm C và D . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM . ----------  HẾT  ---------- HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 : 0905.884.951 – 0929.484.951 GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 2 ĐÁP ÁN THAM KHẢO – HSG TOÁN 9 THỊ XÃ HOÀI NHƠN – 2021 Bài 1. (4.5 điểm) Rút gọn các biểu thức: a) A     5 3 29 12 5 . b) 3 3 B     70 4901 70 4901 . c) 1 1 1 1 ... 2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100 C          . a) Ta có:   2 A             5 3 29 12 5 5 3 2 5 3 5 3 2 5 3   2        5 5 1 5 5 1 1. b) Ta có:      3 3 3 B        140 3 70 4901 70 4901 . 70 4901 70 4901 3    3 3 2               B B B B B B B 3 140 0 125 3 15 0 5 5 28 0   2 2 5 5 0 5 87 5 28 0 0 2 4 B B B B B                                 v« nghiÖm . Vậy B  5. c) Ta có:     1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 . 1 1 n n n n n n n n n n n n n n               . Áp dụng ta được: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 ... 1 2 2 3 3 4 98 99 99 100 10 C             . Bài 2. (4.5 điểm) a) Cho * a b ,   . Tính giá trị của biểu thức: 2 2 a b A ab   , biết A có giá trị nguyên. b) Cho ba số nguyên a b c , , và M a b b c c a abc          . Chứng minh rằng: " Nếu a b c    4 thì M  4 ". c) Tìm số abcd biết abcd  3 và abc bda   650 . a) Đặt d a b ­cln , , suy ra: . . a d m b d n       ; với m n, 1  và * m n d , ,   . Khi đó 2 2 2 2 2 2 2 . . . . . d m d n m n A d m n m n     . Vì A có giá trị nguyên nên 2 2 2 2 2 2 2 2 . m n m n m m n m n m n n m n                , mà m n, 1  m n n m          m n . Vậy 2 2 2 2 2 2 . m n m A m n m     . b) Ta có: M a b b c c a abc            2         a b c c ab bc ca c abc HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 : 0905.884.951 – 0929.484.951 GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 3        2 2              a b c ab bc ca a b c c ab bc ca c c abc       a b c ab bc ca abc   2 . Vì a b c    4 nên trong ba số a b c , , phải có ít nhất một số chẵn  2 4 abc  . Vậy M  4 . c) Vì abc bda   650 mà 650 là số tròn chục nên c a  . Suy ra ab bd a b b d a b d             65 10 10 65 10 65 9 74 (do b 1). Lại có 10 90 a   a 8; 9 .  Với a  8 1 9 15 6 b b d d          . Khi đó abcd  8186 3  . Do đó trường hợp này loại.  Với a  9 2 9 15 7 b b d d          . Khi đó abcd  9 297 3 . Do đó trường hợp này thỏa. Vậy số cần tìm là: 9 297 . Bài 3. (4.0 điểm) a) Giải phương trình: 2 4 9 1 3 6 x y x xy     . b) Cho hai số dương x y , thỏa mãn: x y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 1 A x y x y                         . a) Điều kiện xy  0 .  Trường hợp 1: x  0 , ta được phương trình: 1 9 1 0 9 y y      . Do đó, trong trường hợp này phương trình có nghiệm là:   1 ; 0; 9 x y            .  Trường hợp 2: y  0 , ta được phương trình: 2 2 3 7 4 1 3 2 0 4 4 x x x                 (vô nghiệm). Do đó, trong trường hợp này phương trình vô nghiệm.  Trường hợp 3: x  0 , y  0 . Khi đó     2 2 2 2 4 9 1 3 6 4 4 1 9 6 0 2 1 3 0 x y x xy x x y xy x x y x                 Vì     2 2 2 1 0 2 1 0 1 3 0 2 3 0 x x x y x y x                       và 1 18 y  . Do đó, trong trường hợp này phương trình có nghiệm là:   1 1 ; ; 2 18 x y          .  Trường hợp 4: x  0 , y  0 . Khi đó     2 2 2 2 4 9 1 3 6 4 4 1 9 6 0 2 1 3 0 x y x xy x x y xy x x y x                   Vì     2 2 2 1 0 2 1 0 3 0 3 0 x x y x y x                        hệ này vô nghiệm. Do đó, trong trường hợp này phương trình vô nghiệm.  Vậy nghiệm của phương trình là:   1 1 1 ; ; , 0; 2 18 9 x y              . HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 : 0905.884.951 – 0929.484.951 GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 4 b) Với x , y dương và x y  1 , ta có:   2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 P x y x y 4 . 1 4 x y x y                    .  Ta có:   2 2 2 2 2 1 1 2 2 x y x y x y x y         .  Lại có:   2 1 4    x y xy , suy ra 2 2 1 1 4 16 xy x y    . Do đó   1 25 . 1 16 4 2 2 P     , đẳng thức xảy ra 1 2    x y .  Vậy min 25 2 P  , xảy ra khi và chỉ khi 1 2 x y   . Bài 4. (3.0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Gọi I là một điểm trên nửa đường tròn tâm O (I khác A và B ). Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với AB tại H . Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn tâm I , tiếp xúc với đường tròn tâm I lần lượt tại C và D . a) Chứng minh C I D , , thẳng hàng. b) Chứng minh 2 . 4 CD AC BD  . a)  Vì BH BD , là tiếp tuyến của đường tròn I nên IB là tia phân giác của HID    1 2   I I .  Vì AC AH , là tiếp tuyến của đường tròn I nên IA là tia phân giác của CIH   3 4   I I .  Vì AIB có AB là đường kính của đường tròn O và I nằm trên đường tròn O    2 3       AIB I I 90 90 . Do đó     1 2 3 4 I I I I      180  C I D , , thẳng hàng. b)  Tam giác AIB vuông tại I có IH là đường cao nên 2 IH HA HB  . .  Vì C I D , , thẳng hàng mà I là tâm của đường tròn nên CD là đường kính 2 CD   IH .  Vì BH BD , là tiếp tuyến của đường tròn I nên HB BD  .  Vì AC AH , là tiếp tuyến của đường tròn I nên HA AC  .  Do đó 2 2 2 . . . 2 4 CD CD IH HA HB AC BD AC BD                . Bài 5. (4.0 điểm) a) Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD ( D thuộc BC ) sao cho BD a  và CD b  (với a b  ). Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt tia BC tại M . Tính MA theo a và b . b) Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB R  2 và M là một điểm thuộc nửa đường tròn (khác A và B ). Tiếp tuyến của O tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B của O lần lượt tại các điểm C và D . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích của hai tam giác ACM và BDM . HSG 9 – Tuyển chọn đề thi 2020 – 2021 : 0905.884.951 – 0929.484.951 GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 5 a)  Ta có: MAC  là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và ABC  là góc nội tiếp cùng chắn một cung   MAC ABC  .  Vì AD là đường phân giác của ABC AC DC b AB DB a    .  Xét MAC và MBA , ta có: MAC ABC  (chứng minh trên) AMB  chung. Do đó   MAC MBA  (g - g) Suy ra 2 2 . MA MC AC b MC MC MA b MB MA AB a MB MA MB a           2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . 1 . b b b b b MC MB MC a b MC a b MC a a a a a b                       . Ta có: MC b a MC ab . MA MA a b a b      . b) Ta có: CA CM  và DB DM  (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau). Ta có: CD CM MD CD AC BD      . Kẻ MH AB  ( H AB  ), khi đó MH MO R   . Tứ ABDC là hình thang vuông nên CD AB R   2 . Ta có:   2 2 . . 2 2 2 2 ABDC AC BD AB CD AB AB S R      . 2 . . 2 2 MAB MH AB MO AB S R     . Do đó 2 2 2 2 S S S S R R R    CAM DBM ABCD MAB       . Dấu " "  xảy ra khi H O   M là điểm chính giữa cung AB . Vậy S S   CAM DBM  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 R khi M là điểm chính giữa cung AB . ----------  CHÚC CÁC EM MAY MẮN  ----------